Egyetemi valószínűségszámítás?

1)

kimenetelek száma: 6^7

(7 alatt 2)(5 alatt 2)(3 alatt 1)(2 alatt 2)/6^7

Az első megoldása egy kicsit félrement. A kimenetelek száma nem 6^7 lesz, mivel NEM SZÁMÍT A SORREND. Mivel nem számít a dobott számok sorrendje, és bármelyik számból lehet többféle is, emiatt ez a feladat egy ismétléses kombinációs feladattá válik, amit egyszerűen az (n+k-1 alatt az n) képlettel ki tudunk számolni, ahol n az 1 kockával dobható lehetőségek száma (=6), k a "helyek", vagyis a kockák száma (=7), így a lehetséges kimenetek száma:

(6+7-1 alatt a 6) = (12 alatt a 6) = 12!/(6!*6!) = ... = 924.

Ha nem érted, miért ezzel a képlettel lehet számolni, külön kérésre azt bővebben kifejtem, de elvileg a miértjét kellett tanulnotok.

A valószínűséget viszont jól számolta; bár a sorrend nem számít, a valószínűség számításánál kell vele számolnunk; ennek oka az, hogy ha a sorrendiséggel nem számolunk, akkor az egyébként nem azonos valószínűségű eseteket úgy vesszük, mintha azonos valószínűségűek lennének. Például intuitíven is érezzük, hogy 7 darab 6-ost kisebb valószínűséggel dobunk, mint az 1234566 számsort, emiatt a sorrendiség is fontos. Tudom, hogy elsőre nehéz lehet ezt megérteni, mert az agyunk máshogy gondolja, de matematikailag így van.

A második feladatnál egyébként így tudunk számolni; mivel a 10 húzás nem befolyásolja azt, hogy 4.-jére mit húzunk, ezért nekünk elég csak a 4. húzásig vizsgálódni. Ennek megfelelően:

Összes eset: 35*34*33*32 = 1256640

Kedvező eset: mivel direkt nem tudunk számolni, ezért osszuk esetekre. A betűsorokban az S a sálat, az s a sapkát jelenti:

1. SSSs azt jelenti, hogy az első 3 húzásra sálat húzunk, negyedikre sapkát:

15*14*13*20 = 54600

Első körben az a kérdés, hogy ennek megfelelően hány csoportot tudunk kialakítani; mivel az első három helyre kétféle betűt írhatunk, a negyedikre pedig csak 1-et, így 2*2*2*1=8 csoport lesz (és nem 16, ahogy előbb írtam), így már tudjuk, hogy meddig kell listáznunk. Folytatás:

2. SSss esetén: 15*14*20*19 = 79800

3. SsSs: 15*20*14*19 = 79800

4. Ssss: 15*20*19*18 = 102600

5. sSSs: 20*15*14*19 = 79800

6. sSss: 20*15*19*18 = 102600

7. ssSs: 20*19*15*18 = 102600

8. ssss: 20*19*18*17 = 116280

Ezek összege fogja adni a kedvező eseteket számát, így 718080-féleképpen tudunk negyedik húzásra sapkát húzni. Innen pedig kedvező/összes adja a valószínűséget.

Észerevehetjük, hogy sok esetben ugyanazt kaptuk a szorzás eredményére. Ez nem véletlen, ugyanis csak annyi történik, hogy a szorzótényezők felcserélődnek, így nyilván a szorzat értéke nem változik. Ezeket az eseteket, ha kicsit profibbak vagyunk, könnyebben össze tudjuk adni, ehhez első körben úgy kell esetekre bontanunk őket, hogy melyikből hány betűt tartalmaz:

#1 SSSs: ebben az esetben 15*14*13*20 = 79800 a lehetőségek száma. Hányféleképpen lehet ezt a betűsort felírni? Nincs nehéz válaszunk: 1, tehát ez a szám egyszer fog az összegbe kerül (ahogyan került is az előbb).

#2 SSss: 15*14*20*19 = 79800, és megint az a kérdés, hogy hányféleképpen lehet ezeket a betűket egymás mögé írni (úgy, hogy az utolsó mindenképp s legyen), erre (3 alatt a 2)=3 a válasz, tehát 3*79800 = 239400 esetben húzunk két sálat és két sapkát. Az előbbi levezetésben is láthatod, hogy belőlük 3 volt.

#4 Ssss: 15*20*19*18 = 102600, ezekből (3 alatt az 1)=3 darab van, tehát 3*102600 = 307800 esetben húzunk 1 sálat és 3 sapkát.

#5 ssss: 20*19*18*17 = 116280, a betűket pedig (3 alatt a 0)=1-féleképpen tudjuk egymás mellé tenni.

Aztán ezeket összeadhatjuk, és pont ugyanazt fogjuk kapni összegnek, mint az előbb.