Matek háziba valaki segítene?

A probléma megoldásához először meg kell határoznunk a padlózat csempéinek számát és a 50 forintos érmének a padlózaton elfoglalt területét. Ezután kiszámíthatjuk a valószínűséget.

A padlózatot négyzet alakú csempékkel borítják, amelyek oldala 20 cm. Ez azt jelenti, hogy minden csempe területe 20 cm * 20 cm = 400 cm^2.

A fugák mindenhol 0,5 cm szélesek, tehát az érmének legalább 0,5 cm távolságra kell lennie minden csempe szélétől és függőlegesen és vízszintesen is. Tehát az érmének legalább 20 cm + 0,5 cm + 0,5 cm = 21 cm távolságra kell lennie minden irányban a csempéktől.

Az érmének 2,8 cm átmérője van, tehát sugarának fele 2,8 cm / 2 = 1,4 cm.

Az érmének elfoglalt területe egy kör, amelynek sugara 1,4 cm. Tehát az érmének elfoglalt területe pi * (1,4 cm)^2 = 6,16 cm^2.

Most számítsuk ki a padlózatban elfoglalt csempék számát. Ehhez el kell osztanunk az érmének elfoglalt területét a csempék területével:

Elfoglalt csempék száma = (Érmének elfoglalt terület) / (Csempék területe)

= 6,16 cm^2 / 400 cm^2

= 0,0154

Ez azt jelenti, hogy az érmének általában 0,0154 csempének kellene elfoglalnia a padlózaton. Mivel a csempek száma egész szám, ezért az érmének vagy 0 vagy 1 csempét kell elfoglalnia.

Ha az érmének sikerül úgy landolnia, hogy nem érinti semelyik fugát, akkor az érmének az egyik csempén kell elfoglalnia a helyét. Tehát a valószínűsége az, hogy az érme a padlózaton úgy áll meg, hogy nem érinti semelyik fugát:

Valószínűség = 1 csempét elfoglaló érmék száma / összes lehetséges elfoglalás

Az elfoglalt csempék száma 0 vagy 1 lehet. Tehát a valószínűség az, hogy az érme nem érinti semelyik fugát:

Valószínűség = P(0 csempét elfoglaló érmék száma) + P(1 csempét elfoglaló érmék száma)

P(0 csempét elfoglaló érmék száma) = 1 - P(1 csempét elfoglaló érmék száma)

A P(1 csempét elfoglaló érmék száma) kiszámításához figyelembe kell vennünk, hogy az érmének középen kell landolnia a csempén. Mivel a csempe oldala 20 cm és az érmének 2,8 cm átmérője van, az érmének a csempének középen kell lennie mind vízszintesen, mind függőlegesen. Tehát az érmének a csempe közepére kell esnie, ami a csempe területének 1/4-ét jelenti.

P(1 csempét elfoglaló érmék száma) = (1/4) * (Elfoglalt csempék száma)

= (1/4) * 0,0154

= 0,00385

Így a P(0 csempét elfoglaló érmék szA problémát megoldhatjuk a geometriai valószínűség segítségével. Az érmének úgy kell leesnie a padlóra, hogy a középpontja ne essen a fugákra.

A csempék oldalai 20 cm szélesek, és a fugák mindenhol 0,5 cm szélesek. Tehát a csempék és fugák közös szélessége 20 cm + 0,5 cm = 20,5 cm.

Az érmének 2,8 cm átmérője van, tehát az átmérő fele, vagyis a sugara 2,8 cm / 2 = 1,4 cm.

Az érmének úgy kell leesnie a padlóra, hogy a középpontja legalább 1,4 cm távolságra legyen a fugáktól. Ha az érmének a középpontja ennél közelebb esik valamelyik fugához, akkor érinteni fogja azt.

A padló csempéi egymástól 20 cm távolságra vannak, tehát az érmének legalább 20 cm / 2 = 10 cm távolságra kell lennie a csempéktől.

A padlózat négyzet alakú, tehát a csempék közötti távolság ugyanannyi minden irányban.

Az érmének a középpontjának 1,4 cm távolságra kell lennie a fugáktól függőlegesen és vízszintesen, valamint 10 cm távolságra a csempéktől függőlegesen és vízszintesen.

Mivel a csempék és fugák közös szélessége 20,5 cm, és az érmének 1,4 cm távolságra kell lennie a fugáktól, az érmének legalább 20,5 cm + 1,4 cm = 21,9 cm távolságra kell lennie a csempéktől.

Összefoglalva, az érmének legalább 21,9 cm távolságra kell lennie a csempéktől és a fugáktól minden irányban.

A padlózat négyzet alakú, tehát a teljes padlóterület megegyezik a csempék területével. Egy csempe területe 20 cm * 20 cm = 400 cm^2.

A valószínűség kiszámításához először meghatározzuk az érmének az elfoglalt területét a padlón:

Elfoglalt terület = pi * (1,4 cm)^2 = 6,16 cm^2

A valószínűség az, hogy az érme úgy áll meg, hogy nem érinti semelyik fugát, azaz az érmének az elfoglalt területen kívül kell lennie.

Valószínűség = (Teljes padlóterület - Elfoglalt terület) / Teljes padlóterület

= (400 cm^2 - 6,16 cm^2) / 400 cm^2

= 393,84 cm^2 / 400 cm^2

= 0,9846

Tehát a valószínűség, hogy az érme úgy áll meg, hogy nem érinti semelyik fugát, kb. 0,9846 vagyis 98,46%.

#1 mi van XDDDD

Fókuszaljunk az érme középpontjára. Hol lehet és hol nem. Meg kell határozni a jó terület arányát.

Elég egyetlen csempére vonakozóan. A teljes: (0.25+20+0.25)^2

A jó terület:

(20-2*(2,8/2))^2

E kettő aránya a keresett valószínűség.

#2: "Elég egyetlen csempére vonatkozóan."

Ebben nincs igazad. Csak gondold meg; ha két csempe lenne, akkor nem kétszer annyi fuga lenne, tehát a csempe/összterület nem áll egyenes arányban egymással. Hovatovább, az sem mindegy, hogy a csempék hogyan helyezkednek el egymáshoz képest; például ha 4 csempét veszünk, azokat lehet 1x4-es és 2x2-es alakzatokba is rendezni, az előbbi esetben (ha "körbe" is teszünk fugát, és miért ne tennénk, elvégre úgy van több értelme a feladatnak), akkor az első esetre az összterület 1732,5 cm^2, míg a másokra 1722,25 cm^2, viszont a kör középpontjának kedvező helyei mind a két esetben azonosak, tehát a négyzetes elrendezés esetén lesz nagyobb a valószínűség (mivel kisebb számmal osztjuk ugyanazt a számot).

Általánosan; álljon a padló n sor és k oszlop csempéből, ahol n;k pozitív egész számok (és minden sorban/oszlopban egész csempék vannak). Az egyszerűbb számítás érdekében vegyük úgy a feladatot, hogy a csempézés körül nincs fal, vagyis az érme középpontja a csempézés bármelyik részére fizikai akadály nélkül eshet.

Kedvező eset, vagyis hogy a csempe "jó" helyére esik az érme közepe: 1 csempe esetén 295,84 cm^2 (ahogy azt kiszámoltad), k*n darab csempe esetén k*n*295,84 cm^2

Összes eset: ha x darab csempe van egy vonalban, az összesen x+1 darab fugát határoz meg (1 csempe esetén 2-t, 2 csempe esetén 3-at, 3 csempe esetén 4-et, stb), ennek megfelelően az n sorból és k oszlopból álló burkolat oldalhosszai: n*20+(n+1)*0,5, illetve k*20+(k+1)*0,5, így a burkolat teljes területe: (20,5n + 0,5)*(20,5k + 0,5)

Tehát a valószínűség:

[k*n*295,84] / [(20,5n + 0,5)*(20,5k + 0,5)], a szögletes zárójel csak azt a célt szolgálja, hogy a számláló és a nevező könnyebben elkülöníthető legyen.

Nem mellesleg, abban is van egy csöppnyi elvi hiba, ahogyan az összes esetet számoltad.

Illetve még annyit, hogy ha szó szerint értelmezzük a kérdést:

"mennyi a valószínűsége, hogy úgy áll meg, hogy nem érinti semelyik fugát?"

És "érintés" alatt a geometriában használatos definíciót követjük, akkor a valószínűség 0 lesz, de nem lehetetlen.

#3 Igazad is lehet, meg nem is.

Te is éltél előfeltételezéssel,hogy van a szélen fuga vagy sem. Sőt. Hogy van e fal a szélén vagy sem!

Akkor én miért ne élhetnék azzal a feltételezzéssel hogy a végtelen sík van lecsempézve. S minden csepéhez 0.25 széles fugakeret tartozik? Sőt én azt is sejtem, hogy randomra választott összefüggő területeknél a csemepe és a teljes terület aránya éppen az én általam leírt arány értékénél oszcillál.

„Te is éltél előfeltételezéssel,hogy van a szélen fuga vagy sem. Sőt. Hogy van e fal a szélén vagy sem!”

Te is beláthatod, hogy ez a feltételezés csak az egyszerűbb számítást szolgálja. Ha jobban megnézed, még azzal a feltételezéssel is mertem élni, hogy minden csempe ugyanakkora területű, már pedig -ha van körülötte fal- a csempe alakja eléggé változatos tud lenni. Szóval nyugodtan vedd úgy, hogy az *ideális* esetet vettem. Viszont az általam konstruált képletből kiindulva már egyszerűbb a megszorított eseteket is vizsgálni, mivel csak azt kell kiegészíteni.

„Akkor én miért ne élhetnék azzal a feltételezzéssel hogy a végtelen sík van lecsempézve.”

A legnagyobb lelki nyugalommal élhetsz, csak akkor a feltételezést illik is leírni, és nem csak odavetni, hogy elég egy csempére vizsgálódni, mintha az bármilyen esetre megadná a valószínűséget...

Egyébként ha n->végtelen és k->végtelen, akkor az általam adott képlet ugyanazt a valószínűséget adja, mint amit te kaptál.

„Sőt én azt is sejtem, hogy randomra választott összefüggő területeknél a csemepe és a teljes terület aránya éppen az én általam leírt arány értékénél oszcillál.”

Akkor rosszul sejted. Ha jobban megnézed a megoldásomat, akkor annak minimuma n=1 és k=1 esetén van (bár itt is bele lehet kötni, hogy 1 csempe esetén hogyan tudjuk a fugát értemezni, ezért is éltem azzal az értelmezéssel, hogy körben is van 0,5 cm széles fuga, illetve hogy nincs fal, az abban segít nekünk, hogy ennek a szélső fugának bármelyik pontjára eshet a kör középpontja), maximuma pedig n->végtelen és k->végtelen esetén, tehát ezen két érték között oszcillál a valószínűség, függően attól, hogy a csempék hány sorban és hány oszlopban vannak elrendeve.