A 2^4*3^5*5^3*7^2-nak hány 21-el Nem osztahtó egész osztója van? És ezt hogyan kéne kiszámolni?

5*4*3(*2)?

(A *2 azért olyan fura zárójelben, mert az a negatív osztókat számolja.)

Ha az első választ jól értem, akkor az hibás.

Érdemesebb inkább indirekt módon számolni; hány osztója van összesen ennek a számnak? A tanultak alapján 5*6*4*3=360 darab osztója van.

A 21-gyel való oszthatóságnak feltétele, hogy legyen legalább egy darab 3-as és 1 darab 7-es szorzótényező. Ha ezeket lefixáljuk, akkor azt nézzük meg, hogy ezekhez a többi tényezőből hányféleképpen válogathatunk. Erre a válasz: 5*5*4*2=200, tehát 200 olyan osztója van, amely osztható 21-gyel.

Értelemszerűen ezek alapján 360-200 = 160 olyan osztó van, ami nem osztható 21-gyel (illetve ha a negatív osztókat is bele akarjuk erőszakolni a feladatba, akkor szorozni kell 2-vel, de az ilyen feladatoknál nem szoktunk ezzel foglalkozni).

Össze lehet számolni direkt módon is, csak jobban oda kell figyelni:

Például amiben nincs 7-es tényező abból

5*6*4 darab van,

amiben nincsen 3-as azokból

5*4*3 darab,

ha ezeket összeadnánk az már majdnem jó lenne, csak akkor duplán számoljuk azokat, amikben se 3-as, se 7-es nincs, így ezeknek a számát le kell vonni, így a végeredmény

5*6*4 + 5*4*3 – 5*4 = 160.

Lehet úgy is, hogy összeszámoljuk azokat, amikben egyik sincs (5*4 darab), amikben van 3-as, de 7-es nincs (5*5*4 darab); és amikben van 7-es, de 3-as nincs (5*4*2 darab), ekkor csak össze kell adni a három kapott számot.

Amúgy nekem fura, hogy a kérdésben írják, hogy egész osztókat keresünk, de azt nem, hogy pozitív egészeket. Szóval ha csak simán az osztókat kérdeznék (jelző nélkül), akkor biztosabb lennék benne, hogy csak a pozitív egészeket számoljuk.