Segítsene valaki?

Végtelen sok ilyen függvény van, de nem elemi függvényt kell keresni. Annak mindenképp teljesülnie kell, hogy f(0)=0.

Ha más nem ír, később kifejtem.

Kezdjük a 0-val. Mivel nem tudjuk f(0) értékét, tegyünk egy próbát, és legyen például 5, tehát f(0)=5. A feladatkiírás szerint f(f(0)) értéke (-0) kell, hogy legyen, vagyis 0, és mivel f(0)=5, ezért f(f(0)) = f(5) = 0. Sokkal egyszerűbben átláthatóvá válnak a kapcsolatok, hogyha hozzárendelésként írjuk fel a kapcsolatokat:

0 -> 5 -> 0

Vagyis a 0-hoz tartozó függvényérték 5, az 5-höz 0.

Most írjuk be x helyére az 5-öt, ekkor az előzőek miatt 5 -> 0 adott, a szabály szerint pedig a végére (-5)-nek kell kerülnie:

5 -> 0 -> -5

És itt a probléma, ugyanis így a 0-hoz két érték is tartozik, az 5 és a (-5), ami nem lehet. Ha ugyanezt bármilyen másik számmal eljátsszuk, pont ugyanezt kapjuk. Egyedül akkor fog ez tudni működni, hogyha f(0)=0, mert akkor 0 -> 0 -> 0 adódik, amivel nincsen semmi baj.

Induljunk ki egy másik számból. Legyen x=1 és f(1)=2, ekkor a fenti gondolatmenetet követve ezt a láncolatot kapjuk:

1 -> 2 -> -1, ezután x helyére a 2-t írjuk:

2 -> -1 -> -2, ezután x helyére a (-1)-et írjuk:

-1 -> -2 -> 1, ezután pedig a (-2)-t:

-2 -> 1 -> 2, és itt a kör bezárul, az 1->2 már volt korábban. Tehát ez a 4 szám körbe-körbe kielégít minden feltételt.

Ugyanezt bármilyen olyan számnégyessel el tudjuk játszani, amelyik tartalmaz két pozitív és két negatív számot, és ezek a négyesek végtelen módon variálhatóak, ezért létezik végtelen sok olyan hozzárendelés, ami teljesíti a feltételeket.