Mi az alábbi számsorozat szabálya?

Tetszett ez a feladat!

Nem kevés fejtörés, rajzolgatás után a következő megoldásra jutottam.

Az eredeti sorozat

1| 2 3 | 4 5 6 | 7 8 9 10 | 11 12 13 14 15 | 16 17 18 19 20 21 |...

A eredeti sorozat egyes tagjai a természetes számsor számtani sorozatot alkotó részsorozatainak összegei, mely részsorozatok differenciája d = 1, a tagok száma pedig a részsorozat sorszámával egyenlő n=i ('i' az i-k részsorozat)

Az összegzéshez, először egy részsorozat első és utolsó elemének meghatározására koncentráltam. Ha ez megvan, a jól ismert számtani sor összegképlettel meg lehet határozni az adott részsorozat összegét, vagyis az eredeti számsorozat egy tagját.

A gondolati kacskaringók részletezése nélkül a végeredmény:

Legyen

Ai1 - az i-ik részsorozat első tagja

A1n - az i-ik részsorozat utolsó tagja

Si - az i-ik részsorozat összege

Ai = Si - az eredeti számsor i-ik tagja

Ai1 = [i(i - 1) + 2)]/2

Ain = [i(i + 1)]/2

Ezekkel

Si = [i(i² + 1)]/2

Vagyis az általános tag

Ai = [i(i² + 1)]/2

============

Az 1000. tag

A1000 = [1000(1000² + 1)]/2

A1000 = 500 000 500

Biztos van ennél jobb gondolatmenet is, nekem ennyire futotta. :-)

Szívesen látnék más módszerrel előállított megoldást is.

DeeDee

***********

Ehhez egy matematikos kevés, csak kamionsofőr képes megoldani. :)

Én nem számoltam annyit, csak gondolkodtam 5 percet.

Leirom a szabályt, Ti nagyon könnyen fogtok képletet csinálni belőle. Én is tudnék, de ellenkezik az elveimmel, hogy ilyesmit írkáljak.

1*1*1/2+1/2

2*2*2/2+2/2

3*3*3/2+3/2

4*4*4/2+4/2

5*5*5/2+5/2

.

.

.

1000*1000*1000/2+1000/2

És bocs, hogy nagyképű voltam, csak viccelek.

Az előző megoldás nélkül soha nem jöttem volna rá

na jó, ez annyira egyszerű, hogy leirom, csak nem tudom milyen betüt szoktak használni a matekban erre. Legyen n, ha nem jó, cseréljétek ki

n2*n/2+n/2

Üdv az Országutak Fékezhetetlen Agyvelejű Vándorának! :-)

Lassan frusztrálva érzem magam egy ilyen zseni árnyékában, akit tántoríthatatlan elvi meggyőződése sem gátolt abban, hogy valamiféle képletet barkácsoljon a megoldása általánosítása érdekében. Csak így tovább, a végén még matematikus lesz belőled. :-))))))

Mély frusztráltságom sem akadályozott meg abban, hogy a kis csökött agyamban ne szülessenek új kérdések a feladat kapcsán.

Mi van, ha nem a természetes számsor egymást követő tagjai szerint jelölöm ki a részhalmazok hosszát? Mi van, ha a páros, vagy a páratlan számok szerinti tagolást alkalmazok? Mekkorák lesznek az így előálló sor tagjai?.

Az első megoldás után ezek már sokkal könnyeben mentek.

Az előző megoldás jelöléseivel

Ni - az i-k részsorozat tagjainak száma

Páros számok szerinti felosztás esetén

1 2 | 3 4 5 6 | 7 8 9 10 11 12 | 13 14 15 16 17 18 19 20 | 21 ...

Ni = 2i

Ai1 = i(i - 1) + 1

Ain = i(i + 1)

Ai = i(2i² + 1)

==========

³

Páratlan számok szerinti felosztás esetén

1| 2 3 4 | 5 6 7 8 9 | 10 11 12 13 14 15 16 | 17 18 19 20 21 ...

Ni = 2i - 1

Ai1 = (i - 1)³ + 1

Ain = i²

Ai = i³ + (i - 1)³

============

De ha egy üzlet megindul. :-)

Mi lenne, ha a természetes számok négyzetei szerint - 1,4,9,16,... - képezném a részsorozatokat?

Az eredmény

Ni = i²

Ai1 = [i(i - 1)(2i - 1)]/6 + 1

Ain = [i(i + 1)(2i + 1)]/6

Ai = [i(2i² + 1) + 3]/6

===============

Aztán bevillant a sakktáblára rakott búzaszemek esete. Legyen a csopoprtok képzési szabálya: 1, 2, 4, 8, ...

Ebből meg ez jött ki:

Ni = 2^(i - 1)

Ai1 = 2^(i - 1)

Ain = 2^i - 1

Ai = [3*2^(i - 1) - 1][2^(i - 2)]

=====================

Volna még ötletem, de egyelőre ennyinél maradok. :-)

DeeDee

***************

Tényleg nagyon élveztem a különböző változatok kidolgozását. Mindig is szerettem egy problémát a lehető legáltalánosabb formában megoldani, mert egy jó képletből sokkal több kiolvasható, mint egy eset megoldásából.

Néhány kérdés, amivel még lehetne foglalkozni.

- Lehet-e a részsorozatok hosszát leíró függvény ismeretében egy teljesen általános megoldást összehozni?

- Mire használhatók ezek az összefüggések?

- Nem egész számokra érvényes-e?

- Irracionális számok esetén működik-e

stb.

A leírt változatok ötletei tényleg menet közben jutottak eszembe, a megoldásuk igazi szellemi izgalmat jelentett. Ha van hajlamod az ilyen kérdezz-felelek játékra, sok izgalmas dolgot találhatsz a világban. Addig jó, amíg az ember kíváncsi és kérdez.

DeeDee

***********