Matek: kör-, egyenes egyenlet és körök helyzete egymáshoz? Segítséég

1. A 0 abszcissza azt jelenti, hogy az x koordináta 0.

Az egyenes x=0-ban: 4y = 8 -> y=2

Azaz az érintési pont a (0;2) pont.

Azt geometriából tudjuk, hogy az érintési ponthoz tartozó sugár merőleges az érintőre.

Azaz nekünk pont az egyik egyenesnek a normálvektora kell.

(Két megoldás is lesz, az egyenes két oldalán).

Normálvektort az egyenes egyenletéből könnyen fel tudunk írni:

3x+4y=8, így az egyik normálvektor: n = (3;4), a másik (-3;-4)

Tehát a (0;2) pontból a (3;4) vektor irányában 5 hosszra lesz a kör középpontja, mivel ennyi a sugár.

Persze szerencsénk is van, mert a (3;4) az pont 5 hosszú (Pitagoraszi számhármasok)

Így elég a középpont koordinátái: (0+3;2+4) = (3;6)

Innen pedig megvan a kör egyenlete:

(x-3)^2+(y-6)^2 = 25

Ugyanez a (-3;-4) normálvektorral:

A kozéppont ekkor: (0-3;2-4)=(-3;-2)

Az egyenlet pedig:

(x+3)^2+(y+2)^2 = 25

2. Felírhatjuk az egyenleteket "szép" alakban

k1: (x-4)^2+(y-2)^2 = 36

k2: (x-1)^2+y^2 = 1

Azaz az első a (4;2) középpontú 6 sugarú kör, a másik pedig az (1;0)

középpontú 1 sugarú kör. Ha ezeket felrajzolod, látható is, hogy a

kis kör a nagy körön belül van.

Mindez számolással:

k1: x^2+y^2-8x-4y-16=0

-k2: x^2-2x+y^2=0

Kivonom egymásból a két egyenletrendszert

-8x-4y-16+2x = 0

-6x-4y-16 = 0

4y = -(6x+16)

y = -(3x+8)/2

Behelyettesítem a 2. egyenletbe:

x^2-2x+[-(3x+8)/2]^2=0

zárójelbontás, és beszorzok 4-el, hogy ne legyen tört

4x^2-8x +9x^2+48x+64 = 0

13x^2+40x+64 = 0

Megoldóképletben a gyök alatt negatív jön ki, tehát nincs megoldása.

Ami azt jelenti, hogy a két körnek nincs metszéspontja.

Remélem nem számoltam el semmit :)