Hogy kell kiszámolni azt a mértani sorozatot? Egy mértani sorozat első tagja 7, az első három tag összege 91. Mennyi az első hat tag összege?

7 --> 21 --> 63 ---> 189 ---> 567 ---> 1701

Én ezt még nem tanultam, de puszta gondolkodással megoldottam. Az első 3 tag összege 91. A köztük lévő szorzó 3. Tehát az első 6 tag összege:2548 szerintem.

Mértani sor

a1 = 7

S31 = 91 - az első három tag összege

S6 = ?

Legyen

S32 - a második három tag összege

S6 = S31 + S32 - az első 6 tag összege

Felírva az összegeket

S31 = a1 + a1*q + a1*q^2

S32 = a1*q^3 + a1*q^4 + a1*q^5

Az elsőből kiemelve a1-et, a másodikból a1*q^3-t

S31 = a1(1 + q + q²)

S32 = a1*q³(1 + q + q²)

A két összeg hányadosa

S32/S31 = q³

vagyis

S32 = S31*q³

Ezzel az első 6 tag összege:

S6 = S31 + S32 = S31 + S31*q³

S6 = S31(1 + q³)

A kvóciens meghatározása az első 3 tag összegképletéből kapható

S31 = a1(q³ - 1)/(q - 1) = a1(1 + q + q²)

Mindkét oldalt osztva a1-el

S31/a1 = 91/7 = 13

13 = 1 + q + q²

Rendezve

q² + q - 12 = 0

A két gyök

q1 = 3

q2 = -4

Behelyettesítve az összegképletbe

Ha q = 3

S6 = S31(1 + q³)

S6 = 91(1 + 27)

S6 = 2548

========

Ha q = -4

S6 = 91(1 - 64)

S6 = - 5733

=========

DeeDee

************