Egy adott r sugaru kör területét felezzük meg egy olyan körívvel, melynek középpontja az adott kör kerü- letén van. Kérdés: mekkora ennek a körívnek a sugara /R/?

Nagyon szép feladat! :)

Részletezés nélkül az eredmény: a R/r ≈ 1,158

Zárt formában azt hiszem nem lehet megoldani a feladatot (én legalábbis nem tudom, hogy lehetne).

A megoldáshoz szükséges szöget a

sin(2α) - k*(2α)*cos(2α) = π/2

egyenletből lehet.

Mivel

R = 2*r*cosα

a szög ismeretében a R számítható

Nekiállok és készítek egy rajzot is, hogy érthető legyen a dolog.

Leellenőriztem, jók az értékek.

DeeDee

**********

Az ígért rajz

[link]

A meghatározandó terület (1. ábra)

T0 = 2*T1 + 2*T2 = 2(T1 + T2)

A feladat szerint

T0 = r²π/2

A területek meghatározása

Az α középponti szögű körcikk területe

T1 = R²α/2

2*T1 = R²α

A körszeletek területe (2. ábra)

A ß középponti szögű körcikk és a T3 háromszög különbsége

T2 = r²ß/2 - r²*sinß/2

2*T2 = r²ß - r²*sinß = r²(ß - sinß)

Ezekkel

T0 = R²α + r²(ß - sinß)

A kerületi-középponti szögek összefüggéséből adódik, hogy

ß = 2α

A T0 és ß értékét behelyettesítve

r²π/2 = R²α + r²π - r²(2α + sin2α)

Két ismeretlenhez csak egy egyenlet van, a második összefüggés az 1. ábrából

R = r*cosα

Ezt behelyettesítve és rendezés, összevonás után

0 = 8α*sin²α - 4α + 2*sin2α - π

adódik, amiből további alakítások után

sin2α - (π/180)*2α*cos2α = π/2

összefüggés adódik, amiből 'α' valamilyen iterációs módszerrel meghatározható.

Nekem csak próbálgatással sikerült, de a kapott eredmény 0,001 körüli hibát jelent.

Örülnék, ha valaki jobb megoldást mutatna.

A tartomány egyébként: 109 < 2α < 110

A szög ismeretében a

R = r*cosα

képlettel a keresett sugár számítható.

A kapott eredmények:

2α ≈ 109,2°

α ≈ 54,6°

ezzel

R/r ≈ 1,158

=========

DeeDee

***********

Egy elírás

"A kerületi-középponti szögek összefüggéséből adódik, hogy

ß = 2α"

Helyesen

ß = π - 2α

DeeDee

*******

Előző válaszolónak!

Megoldani nekem sem sikerül, csak megerősíteni tudom az általad kapott eredményt! (Tekintsd a GeoGebra tesztelésének - ez csak egy állókép arról.)

[link]

Nagyon köszönöm a válaszodat, remélem mindketten nem tévedünk. :-)

Találtam ugyanis a neten egy megoldást, ami nem ezt az eredményt hozta ki.

Utána számoltam a saját változatomnak, de nem találtam benne hibát, de a te válaszoddal együtt már biztos vagyok, hogy jó.

A megoldásnál olyanra gondoltam, hogy a sorba fejtett sin2x függvény néhány első tagját figyelembe venni, és úgy megpróbálni megoldani x-re az egyenletet, de nagyon macerás képlet jött ki. :-) Ha van valami más ötleted, vevő vagyok rá. :-)

Egy érdekes tapasztalat.

Beírtam a WolframAlpha-ba a

sin2x - (Pi/180)*2x*cos2x = Pi/2

egyenletet és egész más megoldást adott! Nem tudom miért?

Próbáld ki, hátha neked sikerül.

DeeDee

**********

Igazad van, de két dolog azért zavar:

- Ha több megoldás van, akkor az egy tartományba eső gyököket is ki szokta írni

- Pont az a gyök nem szerepel a választékban, ami a feladat megoldása.

Csak ellenőrzésre szoktam használni a Wolframot, de most csalódott vagyok. :-(