Ezt az egyenletet kéne megoldani. Valaki megtudná írni a megoldását? 4 (x2+ 1/x2) =8-|x-1|

ha x>1, akkor jon ki ez a polinom:

(felbontos a zarojelet, szorzol x^2-tel, az absz erteket meg elhagyod, mert feltettuk, h x pozitiv, aztan merlegelvvel rendezgeted. Nem akarom leirni, mert a sok hatvanyos tag miatt ugyis belezavarodnek.)

4x^4-x^3-7x^2+0x+4

Behelyettesited az 1-et, alatamasztod racionalis gyokteszttel, hogy az valoban lehet gyoke es akkor ki jon.

x<1re pedig nincs megoldasa.

Grafikus megoldás:

Külön ábrázolom a jobb és a baloldalt, és keresem a metszéspontokat:

[link]

Jól kitalált feladat!

Jó kis feladat! :-)

Az előző grafikus megoldás is tetszik, de én például kapásból nem tudnám, hogy mi a bal oldalnak a képe. A számítógép segít, de azért jó lenne más megoldást is találni.

Az talán ismert dolog, hogy x + 1/x ≥ 2, ha x pozitív. Ha nem ismert, akkor is viszonylag könnyű belátni:

a) Ha tanultatok már deriválni, akkor azzal gyorsan kijön, hogy x=1-nél van a függvénynek lokális minimuma. Ezt nem is magyarázom tovább, csak ha valaki kéri.

b) Ha nem tanultatok még deriválni, akkor bizonyára valamikor tanultátok már azt, hogy két (vagy több) pozitív szám számtani közepe mindig nagyobb vagy egyenlő a mértani közepénél. Vegyük az x és az 1/x számokat:

számtani közép: (x+1/x)/2

mértani közép: gyök(x*1/x)

Mivel ez a mértani közép mindig 1, ezért x+1/x ≥ 2, bebizonyítottuk.

Na most x² mindig pozitív ha x≠0, vagyis x²+1/x² szintén ≥ 2. Tehát a függvény bal oldala legalább 8.

A jobb oldalról kapásból látszik, hogy legfeljebb 8 lehet. Vagyis a két oldal egyenlő abban a mázlista esetben lehet csak, ha ugyanannál az x-nél van a bal oldalnak minimuma, mint ahol a jobb oldalnak maximuma. A jobb oldalról kapásból tudjuk, hogy x=1 esetén lesz 8, és ha megnézzük 1-nél a bal oldal értékét, gyorsan kiderül hogy az is éppen 8.

Szóval x=1 a megoldás, és biztos, hogy más nem is lehet.