18 képeslapot szeretnénk kiküldeni az ismerőseinknek.8 fajta képeslap van. Hányféleképpen küldhetünk 18 képeslapot el, ha 8 fajta képeslap közül választhatunk? Ha lehet levezetése is legyen.

a 25 alatt a 7 arra lenne megoldás, hogy van 8 fajta képeslap, hányféleképpen tudok 18at összeválogatni, tehát ilyenkor csak az számít, hogy adott fajta képeslapokból mennyi darabot választok (tehát az egy eset, hogy választok 18darab kutyás képeslapot, vagy az is egy eset, hogy 8kutyásat, 5 autósat és 5 virágosat, stb).

Az általad felírt feladatnál viszont ismerősöknek kell küldeni, aminél mivel az ismerősök megkülönböztethetőek, ezért azon belül is, hogy a mondjuk a fele ilyen, a felel meg olyan képeslapot kap, még van csomó eset. Ott valóban 8^18 a jó megoldás.

17:42

több helyen hibás, amit írtál.

Egyrészt nem 25 alatt a 8 hanem 25 alatt a 7 kell. Összekeverted, hogy mi az n és k itt, n=8, k=18, az ismétléses kombinációba behelyettesítve így 25 alatt a 18at vagy másképpen 25 alatt a 7et kapunk.

Ezért nem a neveket meg képleteket kell memorizálni, hanem azt megérteni, hogy hogyan jönnek ki, akkor nem ejt ilyen hibát az ember.

Másik, hogy rosszul számolod a binomiálist a linkelt képen.

25 alatt a 8 = 25!/8!(25-8)!=25!/8!17!

ha erre a 27alatt a 7re gondolsz, akkor az az, amiről már fentebb írtam, hogy a boltban árulnak 8fajta képeslapot, te 18darabot szeretnél vásárolni, hányféleképpen teheted ezt meg. Tehát itt csak az számít, hogy adott típusú képeslapból mennyi van.

Ez annyiban más attól, hogy hányféleképpen tudsz elküldeni 18 ismerősödnek 1-1 képeslapot, ha 8 fajtából választhatsz mindenkinél, hogy ott számít az is, hogy ki milyet kap (hiszen az ismerőseid megkülönböztethetőek), tehát az két külön eset, hogy

- az apukádnak küldesz kocsis képeslapot, a többieknek meg mókusosat, vagy hogy

- az anyukádnak küldesz kocsisat, és a többieknek mókusosat.

Itt úgyis gondolkodhatsz, ha úgy könnyebb, hogy az ismerősöket valahogy sorba állítod (1. anya, 2. .apa, 3. nagybácsi, stb), és akkor ilyen sorrendben adod fel a képeslapokat. Ha így nézed a dolgot, akkor itt nem csak az számít, hogy melyik típusú képeslapból mennyi van, hanem az is, hogy milyen sorrendben küldöd el őket.

Ezért itt 8^18 lehetőség van, hiszen az első elküldött képeslap 8 fajta lehet, a második is és a tizennyolcadik is, ezek egymástól függetlenek így jön ki a 8^18.

Az első példánál, amikor megvetted a képeslapokat a boltban, akkor viszont még nem számított a sorrend, hogy először melyiket dobtad be a bevásárló szatyrodba.

Emiatt azt máshogy kell számolni, ott jön be ez a fent említett ismétléses kombináció, csak vigyázni kell, hogy minek felel meg az n és minek a k.

Wiki-n pl. utána tudsz ezeknek olvasni.

a levezetés leírása kicsi macerás.

Kicsit általánosabban fogom akkor leírni. Szóval az ismétléses kombináció arról szól, hogy van egy urnád, benne n darab golyó, mindegyiken különböző szám - mint a lottó sorsoláson. Ebből húzol ki k darabot úgy, hogy minden húzás után visszarakod a kihúzott golyót, tehát ugyanazt a golyót akár többször is kihúzhatod. Az nem számít, hogy az egyes számokat milyen sorrendben húztad ki, csak az, hogy a végén mondjuk 2darab 1es, 2darab 4es, stb. lesz.

Másképp is meg lehet fogalmazni, hogy van k darab azonos pénzérméd (mondjuk 100 forintos), és azt szét akarod osztani n darab ember között, ez tök ugyanaz a dolog, csak másképp elmondva, érdemes lehet végiggondolni (ekkor minden húzásnál a kihúzott golyó száma azt mondja meg, hogy melyik ember kapjon egy érmét). Gondolj rá aszerint, amelyik neked kényelmesebb.

Ezt hívják ismétléses permutációnak, de a nevet tök felesleges megjegyezni, az elvet kell érteni.

A fenti képeslapvásárlós példára ezt úgy kell ráhúzni, hogy itt a képeslap típusok a "golyók", amikből minden húzáskor választhatunk, és 18szor "húzunk". A másik megfogalmazásban hogy a képeslap típusok a "személyek", és az, hogy egy személy hány pénzérmét kap, az jelöli azt, hogy az adott típusú képeslapból mennyit vettél.

Először azt könnyebb kiszámolni, hogy hány eset van akkor, ha kikötjük azt az extra feltételt is, hogy minden golyót legalább egyszer kihúztunk a k húzás folyamán.

Ezt egyszerűbb lesz a pénzérméssel elmondani, de ez csak megfogalmazás.

Tedd le egymás mellé egy sorba az k darab pénzérmét. Ezt szeretnéd szétosztani úgy n ember között, hogy mindenki legalább egyet kapjon. Ezt úgy szemléltetjük, hogy az utolsó kivételével mindegyik kap egy hurkapálcát, és az első ember ha ő mondjuk 2 érmét kapott, akkor a második érme után berakja a pálcáját, ezzel levágva az első két érmét a többitől. Ha mondjuk a második 3 érmét kapott, akkor ő a következő 3 érme után rakja oda a pálcáját. Az utolsó megkapja a maradék érméket.

AZ O-k lesznek az érmék, a | a pálcák, akkor valahogy így néz ki a dolog:

OO|OOO| ... |OO összesen k darab O, és n-1 darab |

Az első emberé lesz az első pálca előtti érmék, a másodiké az első és második pálca közöttiek, a harmadiké a második és harmadik pálca közöttiek, .., az utolsóé az utolsó (n-1 edik) pálca utániak. Mivel mindenki kapott legalább egy érmét, így egy helyen csak max egy pálca lehet. Szintén nem lehet pálca az első érme előtt, mert akkor az első embernek nem lenne érméje, sem az utolsó érme után, mert akkor az utolsónak nem lenne. Tehát összesen van k-1 lehetséges hely a k darab érme között, ahova el kell helyezni n-1 darab pálcát, hogy nem jut egy helyre két pálca, ez k-1 alatt a n-1 lehetőség. Tehát ennyiféleképpen lehet szétosztani k érmét n darab ember között, hogy mindenki kapjon legalább egy érmét.

Ha most nem akarjuk kikötni, hogy mindenki kap legalább egy érmét, akkor azt csináljuk, hogy eleve mindenkinek kiosztunk egy érmét kölcsönben, így nem fog senki érme nélkül maradni. Tehát veszünk még pluszban annyi érmét, ahány ember van, így lesz összesen n+k darab érménk, és ezt osztjuk úgy szét az n ember között, hogy mindenki kapjon legalább egyet. Aztán visszavesszük mindenkitől a kölcsön érmét. Tehát a dolog lényege, hogy n emberk között ugyanannyi féleképpen lehet szétosztani k darab érmét úgy, hogy nem kell mindenkine kapnia, mint n+k darab érmét úgy, hogy mindenki kapjon legalább egyet. Ez utóbbit pedig az előbb számoltuk ki, hogy n+k-1 alatt az n-1.

Ez a képeslapvásárlós példában az volt, hogy n darab fajta képeslap van, tehát n=8, és k darabot veszünk, tehát k=18, tehát behelyettesítve 18+8-1 alatt a 8-1, ami 25 alatt a 7.