Legyenek A, B és C olyan halmazok, melyekre AUBUCU={1;2;3;4;5;6;7;8;9;10}; A\B={2;4;6;8;10}; A\C={1;3;5;7;9}. Bizonyítsal be, hogy: B∩C={} és hogy BUC=A! Hogyan bizonyítsam be?

A/B=2 4 6 8 10, ez azt jelenti,hogy minden, ami A ból megmarad, ha B elemeit eltávolítjuk... vagyis B= 1 3 5 7 9

ugyanez vonatkozik A/C-re is... vagyis C elemei: 2 4 6 8 10

A tehát egyenlő BUC-vel és B metszet C pedig üreshalmaz, mivel nincsenek közöz elemeik...

Szerintem az első bizonyításból kimaradt egy kezdő lépés. Én így gondolkodnék:

- Mivel A\B={2;4;6;8;10} úgy jön ki, hogy A elemeiből kihagyjuk mindazokat, amik B-ben is benne vannak, ezért az A halmaz egyenlő vagy bővebb a {2;4;6;8;10} halmaznál.

- Hasonlóképpen A\C miatt az A halmaz egyenlő vagy bővebb, mint az {1;3;5;7;9} halmaz.

- Vagyis az előző két pont miatt az A halmaz egyenlő vagy bővebb, mint az {1;2;3;4;5;6;7;8;9;10} halmaz

- Mivel AUBUC éppen megegyezik ezzel, ezért A nem lehet bővebb, hanem pont egyenlő az {1;2;3;4;5;6;7;8;9;10} halmazzal.

Innentől kezdve már jöhet az első válaszolótól a bizonyítás, tehát: újra megnézve az A\B példa szövege szerinti értékét kijön, hogy B={1;3;5;7;9}, illetve A\C-ből hogy C={2;4;6;8;10}. Ezeknek a metszete tényleg üres halmaz, uniója pedig tényleg az A halmaz.

Na ha majd emeltet szeretnél, akkor itt egy másik bizonyítás is. Formálisabb az előzőnél, ezért szerintem nehezebb megérteni annál, de remélem, menni fog :)

- B∩C={} bizonyítása:

Nevezzük az (A\B)∪(A\C) halmazt D-nek.

Mivel most D = A∪B∪C, ezért D-nek eleme kell legyen B összes eleme (jelekkel: D ⊇ B). D két "komponense" közül A\B-ben természetesen nincs egyetlen B elem sem (jelekkel: A\B ∩ B = {}), ezért a másik kell tartalmazza mindet, vagyis A\C ⊇ B kell legyen. Teljesen hasonlóan adódik az is, hogy A\B ⊇ C. És mivel most (A\C)∩(A\B)={}, ezért a részhalmazaik metszete is üres: B∩C={}.

- B∪C=A bizonyítása:

Már tudjuk, hogy C ⊆ A\B, ezért C ⊆ A. Teljesen hasonlóan adódik az is, hogy B ⊆ A. Ezekből az is következik, hogy B∪C ⊆ A.

Ha B∪C ⊂ A lenne (pl. A=B∪C∪Q ahol Q≠{}) akkor az A\B és A\C halmazoknak lenne közös eleme (Q). De nincs, ezért az egyenlőség kell fennálljon, A = B∪C.

Remélem érthető, ha nem, kérdezz rá.