Jelölje ωα az α argumentumú 1 abszolút értékű komplex számot, azaz legyen ωα = cos α + i sin α. Határozzuk meg ωα − 1 és ωα + 1 trigonometrikus alakját?

Siman a trig osszeadassal nem fog menni, mert az eredmeny nem trig alaku lesz.

cos(a)+1+i*sin(a) eseten r*cos(b)+i*r*sin(b) alakra kell hozni.

sin(a)=r*sin(b)

cos(a)+1=r*cos(b)

Ebbol az r szamolhato: mindket egyenletet emeld negyzetre

aztan add oket ossze:

sin^2(a)+cos^2(a)+2*cos(a)+1=r^2

2+2*cos(a)=r^2

Ebbol meglesz az r

r=√2*√[1+cos(a)]

A masodik egyenletbol

cos(b)=(cos(a)+1)/r ide helyettesitsd be az r erteket

b= arccos([cos(a)+1]/(√2*√[1+cos(a)])

Ezt meg lehet egy csomot finomitani ha ugy gondolod, hogy ez is resze a feladatnak.

Ha nem akkor csak behelyettesited az r-et es a b-t az

rcos(b)+i*r*sin(b) kepletbe.

A -1-es verzio hasonloan megy.

Azért lehet ezt sokkal szebb alakra is hozni, csak ismerni kell a félszögekkel való felírást.

cos(α)=2cos²(α/2)-1

sin(α)=2cos(α)sin(α)

Ez alapján pedig:

ωα+1=cos(α)+i⋅sin(α)+1=2cos²(α/2)+i⋅2cos(α/2)sin(α/2)=2cos(α/2)(cos(α/2)+i⋅sin(α/2)), ez pedig épp egy trigonometrikus alak.

A másik esetben ugyanez kell, csak cos(α)=2cos²(α/2)-1 helyett a cos(α)=1-2sin²(α/2) azonosságot kell használni...

ωα-1=cos(α)+i⋅sin(α)-1=-2sin²(α/2)+i⋅2cos(α/2)sin(α/2)=2sin(α/2)(-sin(α/2)+i⋅cos(α/2)), ez kicsit érdekesebb, mert fordítva áll sin,cos és van egy előjel is.

Szerencsére észrevehető, hogy:

-sin(α/2)=cos(π/2+α/2)

cos(α/2)=sin(π/2+α/2).

Ezért a trigonometrikus alak

2sin(α/2)(-sin(α/2)+i⋅cos(α/2))=2sin(α/2)(cos(π/2+α/2)+i⋅sin(π/2+α/2)) lesz.

Felmerülhet a kérdés, hogyan lehet ennyi mindent észrevenni a számolás során. A valóság az, hogy csalás történt, ugyanis akár le is rajzolhatjuk a feladatot a komplex síkon, és mivel ωα abszolútértéke is 1, ill. amit hozzáadunk/kivonunk belőle, az is 1 abszolútértékű, ezért az ábrán szép paralellogrammák jelennek meg, amikről leolvasható, hogy itt az α/2 és π/2+α/2 adja meg az irányokat. /Az előbbi azért, mert az 'félúton' az 1 és ωα között (szögekben kifejezve: 0 és α között), az utóbbi pedig azért, mert az van félúton ωα és -1 között, pontosabban α és 180° között félúton/.