Matek geometria, derékszögű háromszög, pitagorasz tétel?

Szogfuggvenyekkel viszonylag egyszeru megcsinalni.

Hasznalhatsz hozza szogfuggvenyeket?

szögfüggvénnyel, ha c=10cm: egyik oldal: sin15=a/10

másik: sin75=b/10

Valoszinuleg van sokkal egyszerubb megoldas is,

de ha azt nem talaljuk meg amig be kell adnod itt van egy indulasnak:

Rajzold fel a haromszoget ABC: Az AB az atfogo, a C csucsban van a derekszog.

Az A csucsban 15 fok, a B csucsban 75 fok.

c=10, kerdes mennyi a=BC es b=AC.

Tukrozd a c oldalra. a C csucsnak a kepet jelold C'-vel.

Hosszabbitsd meg az AC' oldalt es a CB oldalt amig metszeni nem fogjak egymast.

Jelold a metszespontot D-vel.

Nyilvan C'B = a

ABC szog =75

ABC' szog = 75

CBD szog =180,

ezert C'BD szog = 180-75-75=30

Mivel a C'-nel derekszog van, ezert a DBC' haromszog derekszogu haromszog, aminek az egyik (rovidebbik) befogoja "a" hosszusagu, a szogei pedig 30 es 60 fokosak.

Ezt a haromszoget rajzold le kulon.

tukrozd a BC' oldalara: egyenlo oldalu haromszoget kapsz,

aminek a magassaga a C'B oldal.

C'B hossza pont a, az oldalait x-szel jelolve, nyilvan BD x C'D pedig x/2

Ebbol pitagorasz tetellel:

BD^2 = a^2+C'D^2

x^2 = a^2 + (x/2)^2

x^2 = (4/3) * a^2

x=2a/√3

x/2=a/√3

Nezd meg a nagy ACD derekszogu haromszoget:

AC= b

CD= a + 2a/√3

AD= b + a/√3

Pitagorasz tetel szerint:

AC^2 + CD^2 = AD^2

b^2 + (a+2a/√3)^2 = (b+a/√3)^2

b^2 + a^2 + 4(a^2)/√3 + 4(a^2)/3 = b^2 + 2ab/√3 + (a^2)/√3

(a^2)*(7/3 + √3) = 2ab/√3

a*(7/3 + √3) = 2b/√3

b/a = (7/3 + √3)/√3

Ezen kivul azt tudjuk, hogy

a^2 + b^2 = 100

Ha el nem szamoltam, akkor van tehat ket egyenletunk a-val es b-vel, meg lehet oldani oket, lesz beloluk szep masodfoku megoldas.

b/a = (7/3 + √3)/√3

a^2 + b^2 = 100

Ujra vegig szamolva, most az jott ki, hogy b/a= 2+√3

Amibol a^2 + [(2+√3)a]^2=100

a^2(1 + (2+√3)^2)=100

a^2= 100/(1+4+3+4√3)=100/(8+4√3)

a=0.25 igy mar jo.

Na akkor meg egyszer menjunk vegig rajta, ezuttal egyszerubben:

Vedd fel az ABC haromszoget ahogy az elobb, es hosszabbitsd meg az lodalakat ahogy az elobb.

Lesz itt ket olyan derekszogu haromszog aminek az egyik szoge 30 fok, a mazik 60.

Az egyik ilyen haromszog: ADC

A masik ilyen haromszog: BDC'

Azt lehet tudni, hogy egy ilyen haromszog atfogoja a hosszabbik oldal 2/√3 -szerese

a rovidebbik oldal pedig a hosszabbik oldal 1/√3 -szerese.

Azt is tudjuk, hogy az AB oldal hossza "b"

BC' oldal hossza pedig "a"

b a nagyobbik haromszog hosszabbik befogoja

a pedig a kisebbike.

A kisebbikben a DB oldal hossza tehat (2/√3)*a

A nagyobbikban a DC oldal hossza (1/√3)*b

Viszont:

DC = CB + BD

(1/√3)*b = a + (2/√3)*a

Atszorozva √3-mal

b=√3*a + 2*a

a-t kiemelve:

b= a*(2+√3)

Ezt behelyettesitve abba, hogy:

a^2 + b^2 = 100

a^2 + a^2 * (2+√3)^2 = 100

Megint kiemelunk a^2-et

a^2 * (3+√3)^2 =100

a = 2,59

b = 9,65

Na most latom, hogy fent az elozo hozzaszolasom utolso soraban nem a-t, hanem a/c-t szamoltam, de a-t irtam,

elnezest a zurzavarert.