Hogy kell ezt megoldani, magyarázatal együtt?! (logairitmus)

Van függvénytáblázatod? Ha nincs, akkor szerezz be. Egyrészt érettségin használhatod, másrészt jó képletek vannak benne.

Ebben a feladatban is képletek kellenek. A logaritmus azonosságait kell megnézned és az alapján döntheted el, melyik függvény azonos.

Először egy kis elméleti bevezetés, ha zavarónak találod, ugord át:

Hatványozás: a^b=c

Ennek a műveletnek kétféle inverz művelete van:

- Ha ismert b és c, ismeretlen a, akkor arra vagyunk kíváncsiak, hogy mit emeltünk b-edik hatványra, ez a gyökvonás művelet: a=√c (b-edik gyök, csak azt nem tudok írni)

- Ha ismert a és c, ismeretlen b, akkor arra vagyunk kíváncsiak, hogy hanyadik hatványra kellett emelni a-t, ez a logaritmus: b = log_a(c) (a alapú logaritmus c, de olyat is nehéz itt írni)

Vagyis a logaritmus alapja pont ugyanaz, mint a hozzá tartozó hatványozás alapja.

Ennyi volt a bevezetés.

A következő azonosságokat érdemes (pontosabban kell) megtanulni:

(1) log_a(a^b) = b

(2) log_a(b·c) = log_a(b) + log_a(c)

(3) log_a(b^c) = c·log_a(b)

Az (1) a definíció közvetlen következménye, a (2) szerint szorzat logaritmusa azonos a logaritmusok összegével, a (3) szerint pedig hatvány logaritmusából szorzat lesz.

Ezt a hármat kell tudni oda meg visszafelé irányban is! (Visszafelén az értem, hogy ha pl. ezt látod: c·log_a(b), akkor tudd, hogy ez ugyanaz, mint log_a(b^c).)

A fenti hármon kívül vannak még mások is, amik ennek a háromnak a rokonai:

Hányados logaritmusa ezekből már levezethető:

Mivel b/c = b·1/c = b·c⁻¹

log_a(b/c) = log_a(b·c⁻¹) = log_a(b) + (-1)·log_a(c)

log_a(b/c) = log_a(b) - log_a(c)

Ezt az utóbbit is meg kell jegyezni.

Gyök logaritmusa is levezethető:

ⁿ√b = b^(1/n)

log_a(ⁿ√b) = (1/n)·log_a(b)

Az is szokott még lenni, hogy hogyan kell a alapú logaritmusról b alapúra átváltani. Ez is levezethető az előzőekből:

log_a(c) = x azt jelenti a definíció szerint, hogy

a^x = c

Vegyük mindkét oldalnak a b lapú logaritmusát:

log_b(a^x) = log_b(c)

x·log_b(a) = log_b(c)

x = log_b(c)/log_b(a)

vagyis

log_a(c) = log_b(c)/log_b(a)

Ezt is érdemes megjegyezni, néha jól jön. A levezetést nem biztos, hogy érdemes megjegyezni, sok idő lenne, ha szükség lenne rá, inkább csak a végeredményt jegyezd meg.

A mostani feladatodnál:

A: 3·log_2(x)

Ez a (3) azonosság szerint azonos ezzel: log_2(x³)

B: log_2(8x) -> (2)-es azonosság, log_2(8) + log_2(x)

Aztán (1)-es azonosság: log_2(8) = log_2(2³) = 3

vagyis az eredmény: 3 + log_2(x)

Pont ezt kellett megtalálni.

Azért nézzük a többit is:

C: log_2(3x) -> log_2(3) + log_2(x)

D: log_2(x^3) -> 3·log_2(x)

Szia!

A B a jó válasz, mert 3=kettes alapú logaritmus 8 (mivel a 2-t 3dik hatványra kell emelni, hogy 8at kapjunk)

és akkor összeadjuk a LOG(2)8+LOG(2)x= (egy azonossága alapján , amit a fv.táblázatban találsz) LOG(2)8x

Ez így érthető? vagy még nem világos?

A logaritmusnak vannak ennél nehezebb részei is, ha készülsz az érettségire, akkor szerintem ezeket érdemes lenne megtanulni egy magántanárral. Én az vagyok, Pesten. Akár egy óra is elég hozzá. Ahogy érzed, hogy megéri-e ez neked.

skpeon is lehet tanítani...:) ha érdekel

és megértetted ezt a feladatot amúgy?