Hogyan lehet megoldani:a a kobon torve b plusz b a kobon torve c plusz c a kobon torve a> vagy =a negyzet+b negyzet+c negyzet?

Szerintem a megoldasod megy az altalanos esetre is.

Jeloljuk a baloldalt L-lel, a jobboldalt R-rel.

L = Σ(i=1..n-1) Ai^(k+1)/Ai+1 + An^k/A1 ≥ Σ(i=1..n)A,^k =R

Az also indexek ertelem szerint, pl Ai+1 eseten i+1 az also indexben van.

L-R ≥ 0 a bizonyitando.

Legyen:

Xi=Ai/Ai+1 i=1..n-1 eseten

es

Xn=An/A1

Felteheto, hogy A1 a legnagyobb.

L-R = Σ(i=1..n-1) Ai^k(Xi - 1)

Namost Xi-1 az nagyobb lesz 0-nal bizonyos indexekre es kisebb lesz 0-nal mas indexekre.

Szedjuk az S halmazba azokat az indeeket, amire kisebb, es a Z halmazba azokat az indexeket, amire nagyobb.

Az biztos, hogy

ΣXi/n ≥ ⁿ√Π(i=1..n)Xi =1

ΣXi ≥ n

ha m∊S

Xk ≥ n - Σ(i≠m) Xi

L-R = Σ(i=1..n-1) Ai^k(Xi - 1) =

=Σ(i∊S) Ai^k(Xi - 1) + Σ(i∊Z) Ai^k(Xi - 1) ≥

≥ Σ(i∊S)[Ai^k * (n - Σ(j≠i) Xj)] + Σ(i∊Z) Ai^k(Xi - 1) =

= Σ(i∊S)[Ai^k * (n - Σ(j∊S, j≠i) Xj) - Σ(j∊Z) Xj)] + Σ(i∊Z) Ai^k(Xi - 1) =

=Σ(i∊S)[Ai^k * ( |S| - Σ(j∊S, j≠i)Xj)] + Σ(i∊S)Ai^k *[|Z| - Σ(j∊Z) Xj)] + Σ(i∊Z) Ai^k(Xi - 1) =

=Σ(i∊S)[Ai^k * ( |S| - Σ(j∊S, j≠i)Xj)] + Σ(i∊S)(Σ(j∊Z) Ai^k * (1-Xj)] + Σ(i∊Z) Ai^k(Xi - 1) =

=Σ(i∊S)[Ai^k * ( |S| - Σ(j∊S, j≠i)Xj)] + Σ(j∊Z)[Σ(i∊S) Ai^k * (1-Xj)] + Σ(j∊Z) Aj^k(Xj - 1) =

=Σ(i∊S)[Ai^k * ( |S| - Σ(j∊S, j≠i)Xj)] + Σ(j∊Z)[(1-Xj)*Σ(i∊S) Ai^k] + Σ(j∊Z) Aj^k(Xj - 1) =

=Σ(i∊S)[Ai^k * Σ(j∊S, j≠i)(1-Xj)] + Σ(j∊Z)[(1-Xj)*(Σ(i∊S){Ai^k} - Aj^k)]

Most ide be kene helyettesiteni j∊S-re, hogy

Aj+1 = Aj * Π(q≠j)Xq

Namost ha Aj+1 nincs Z-ben akkor lehet ugyanezt megegyszer futtatni:

Aj+2 = Aj+1 * Π(q≠j+1)Xq =Aj * Π(q≠j)Xq* Π(r≠j+1)Xr

A lenyeg, hogy a vegen egy Z-beli elem lesz megzorozva Xi-k olyan szorzataival, hoyg minden szorzat csoportbol csak egy i marad ki.

Namost nekem a papiromon az van, hogy ebbol kijon az amit latni akarunk, de azthiszem meg egy kicsit kell rajta egyszerusitenem mielott beirom, mert a vge kicsit hosszu lett, meg a felenel sem vagyok,

de lenyegeben ez mar csak egyetlen atalakitas, kell lennie egy egyszerubb megoldasnak, mint amit leirtam magamnak.

Meg az is lehet, hogy valahol elszamoltam.

Lassan kifutok az indexekbol.

Na mindegy majd

Kösz, BKRS, de attól tartok, ettől az eredeti kérdező már megrémül :)

Lényegileg szerintem nem írtad el, csak olyasmik vannak benne, hogy pl. a "ha m∊S" után Xm jön, nem pedig Xk, meg aztán több helyen is a "Σ(j∊...)Xj" mögött nem kell néhol kerek, máshol szögletes zárójel (de azért sok helyen jól van írva!) Persze ezek semmit sem változtatnak a bizonyítás lényegén.

Azt érzem, hogy mi hiányzik még a végéről és hogy nagyjából hogy is menne, de nekem is már túl bonyolult a sok szumma meg index :)