Egy növekvő számtani haladvány első három tagjának összege 60. Az első tagot 64-gyel növelve, és a másik két tagot változatlanul hagyva egy mértani haladvány első három tagját kapjuk. Mennyi a mértani haladvány állandó hányadosa?

a + a+d + a+2d = 60

3a+3d = 60

vagyis a sorozat második eleme 20.

A mértani sorozat első 3 tagja: 20-d+64, 20, 20+d

Ha a hányados q, akkor:

(84-d)·q = 20

20·q = 20+d

Ezt az egyenletrendszert kell megoldani, azt rád bízom.

Ja, és arra figyelj még majd, hogy a számtani sorozat növekvő! Vagyis az egyenletrendszerből kapsz majd két megoldást, és az lesz az igazi, ahol d pozitív.

Ha elakadnál, írd meg, meddig jutottál.

Kedves kérdező! Ugyan nem bongolo vagyok, de erre figyelj oda:

20*q=20+d

20+q-20-d=0

Ha a két egyenlet egymásból következik, akkor elírtál egy műveleti jelet, ugyanis 20 és q között egy csillag van, ami szorzást jelent! :)

(Javaslat a megoldáshoz: valamelyik - vagy akár mindkettő - egyenletben le kell osztani azzal a kifejezéssel, amivel q meg van szorozva, így ki lehet fejezni q-t úgy, hogy csak számok, illetve d legyen a kifejezésben...)

Ahogy 13:51-es írta, a szorzás jelet rosszul másoltad le. De ha elakadtál a későbbi a ponton, a másodfokú egyenletnél, akkor felteszem, hogy elakadtál volna akkor is, ha a szorzást jól másolod. Segítek:

(84-d)·q = 20

20·q = 20+d

Mondjuk csináljuk azt, hogy a második egyenletből kifejezzük q-t, és behelyettesítjük az elsőbe:

q = (20+d)/20

Ezt beírom az elsőbe:

(84-d)·(20+d)/20 = 20

(84-d)·(20+d) = 400

A zárójelet ki kell fejteni, lesz belőle egy másodfokú kifejezés:

1680-20d+84d-d² = 400

-d² + 64d + 1280 = 0

(Nagyjából eddig jutottál el a rossz írásjellel.) Ezt most egyszerűen meg kell oldani a másodfokú egyenlet megoldóképletével. Azt tudod fejből? Be kell magolni:

ax²+bx+c=0 megoldásai: x₁₂ = (-b±√(b²-4ac))/(2a)

Most ez lesz a két megoldás:

d₁₂ = (-64 ± √(64²+4·1280))/(-2)

d₁₂ = (-64 ± 96)/(-2)

d₁ = (-64 + 96)/(-2) = -16

d₂ = (-64 - 96)/(-2) = 80

Mivel a számtani sorozat növekvő, ezért csak a d=80 érték lehet a differencia, a negatív nem jó.

A q értéke pedig:

q = (20+d)/20 = (20+80)/20 = 5

Ez a megoldás.

----

Megjegyzés: Lehetett volna úgy is hozzáfogni az egyenletrendszerhez, hogy q helyett a d-t fejezzük ki először (d=20·q-20), és ezt behelyettesítve kapásból a q-ra jött volna ki másodfokú egyenlet, amiből rögtön q jön ki. Azért nem azt csináltam, mert d-t is ki kell úgyis számolni, hogy kiderüljön, a két megoldásból melyik lesz az, amihez növekvő számtani sorozat tartozik.