Bizonyítsd be, hogy az 55100 + 55101 + 55102 összeg osztható 13-mal! Hogyan lehet bebizonyítani?

55^100 + 55^101 + 55^102 = 55^100 * (1 + 55 + 55^2)

1 + 55 + 55^2 = 3081, ami osztható 3-mal

ha egy szám osztható 3-mal, akkor a többszöröse is.

"ami osztható 3-mal

ha egy szám osztható 3-mal, akkor a többszöröse is."

De őneki 13 kell.

Tényleg, de ha már megvan az, hogy 1 + 55 + 55^2 = 3081, akkor már csak ezt el kell osztani 13-mal (3081 / 13 = 237). Mivel megvan benne maradék nélkül, ezért minden többszörösében meglesz maradék nélkül...

[a legtöbb számológép pedig nem bírja el a századik hatványokat és hibaüzenetet fog kiírni...]

A hatvány maradéka ugyanaz, mintha a maradékot hatványoznád.

Konkrétan, ha az 55-öt hatványozod, és a 13-as maradékát figyeled, az ugyanaz, mintha az 55 helyett csak 3-at vennél és annak a 13-as maradékait figyelnéd. (ugyanis 55=4*13+3)

Akkor tehát csak a 3^100+3^101+3^102 maradékát kell nézni, ha 0, akkor kész vagyunk.

Figyeld meg, hogy a 3^12 éppen 1 maradékot ad 13-mal osztva. Tehát ha a 3-nak egy 12-nél nagyobb hatványa van, akkor a kitevőből 12-t elvéve nem változik a maradék.

Pl: 3^16 = 3^12*3^4 -ennek 13-as maradéka 1*3^4 maradékával egyezik, azaz csak a 3^4 = 81 maradékával (ami 3). Nomármost akkor a kitevőkből 12-ket elvehetünk, az nem változtatja a 13-as maradékot:

3^100+3^101+3^102 maradéka 13-mal ugyanannyi, mint 3^4+3^5+3^6 maradéka. Ez pedig a 81+243+729 maradéka lesz. Az pedig 13-mal osztható.

Jajjjjj! Ez a feladat sokkal egyszerűbben is megoldható, bocs!

Én egy teljesen általános megoldást írtam, ami minden ilyen feladatra jó. Az előttem levők felhasználták a feladat specialitását és gyorsabb megoldást adtak...