Valszám feladat segítség kéne?!

Lehet, hogy zeta volt az?

ζ = 2ξ+3

Nem tudom, kell-e a teljes levezetés, vagy csak a vége, hogy ζ is egyenletes eloszlású. A levezetés:

Tudjuk, hogy az egyenletes eloszlásnál:

ξ eloszlásfüggvénye Fξ(x) = P(ξ ≤ x):

Fξ(x) = 0, ha x < 0

Fξ(x) = x, ha 0 ≤ x ≤ 1

Fξ(x) = 1, ha 1 < x

ξ sűrűségfüggvénye:

fξ(x) = 1 a [0;1] intervallumon, 0 máshol

(Egyébként f(x) = dF(x)/dx)

Tudjuk azt is, hogy:

várható érték: E(ξ) = 1/2

szórás: D(ξ) = 1/√12

A keresett ζ eloszlásnál:

ζ eloszlásfügvénye:

Fζ(y) = P(ζ ≤ y) = P(2ξ+3 ≤ y) = P(ξ ≤ (y-3)/2)

Fζ(y) = Fξ((y-3)/2)

vagyis

Fζ(y) = 0, ha y < 3

Fζ(y) = (y-3)/2, ha 3 ≤ y ≤ 5

Fζ(y) = 1, ha 5 < y

ζ sűrűségfüggvénye:

fζ(y) = d/dy Fζ(y) = d/dy Fξ((y-3)/2) = 1/2·fξ((y-3)/2)

vagyis

fζ(y) = 1/2 a [3;5] intervallumban, 0 egyébként

Tehát ζ is egyenletes eloszlású a [3;5] intervallumon.

Akkor pedig várható értéke és szórása:

E(ζ) = (3+5)/2 = 4

D(ζ) = (5-3)/√12 = 2/√12

(de ki is lehetett volna integrálni őket...)

Kovarianciájuk:

cov(ξ, 2ξ+3) = cov(ξ, 2ξ) = 2·cov(ξ,ξ) = 2·D²(ξ) = 2/12

Korrelációjuk (ugye az akar lenni az r?)

corr(ξ,ζ) = cov(ξ,ζ)/(D(ξ)·D(ζ)) = (1/6)/((1/√12)(2/√12)) = (1/6)/(2/12) = 1

Hasonlóan megy, mint az előbbi leképzésnél:

ζ = sin(ξ)

ζ a [-1;1] intervallumon vehet fel értékeket

Fζ(y) = P(ζ ≤ y) = P(sin(ξ) ≤ y)

y<-1 esetén sin(x)<y sosem teljesül, aminek valószínűsége 0

y>1 esetén mindig teljesül, P(y ha y>1)=1

Köztük:

sin(ξ) ≤ y hol teljesül?

Rajzold fel a sin(x) függvényt 0-tól 4π-ig (két teljes ciklus lesz), és húzz be egy vízszinteset valahová, az lesz az y.

Ahol a sin(x) görbe a vízszintes alatt megy, ott színezd be valami más színnel a görbét. Azok a szakaszok érdekelnek minket.

Nézzük először pozitív y esetére:

Ahol először metszi a vízszintes a sin(x)-et, az itt van:

x = arc sin(y)

Tehát 0 és arcsin(y) között teljesül az egyenlőtlenség, meg aztán egy ugyanilyen hosszú szakaszon π-től visszafelé (vagyis π-arcsin(y) és π között), aztán a teljes π hosszú szakaszon, ahol sin(x) negatív. A másik perióduson (2π és 4π közötti) ez a szekvencia ismétlődik ugyanígy.

Mennyi mindennek a valószínűsége? Mivel ξ egyenletes, ezért P(sin(ξ)≤y) meg fog egyezni a megtalált szakaszok hosszának és a teljes hossznak (4π-nek) a hányadosával. Ez pedig:

P = (arcsin(y) + arcsin(y) + π + arcsin(y) + arcsin(y) + π) / 4π

P = (2·arcsin(y) + π) / 2π

Negatív y esetén először itt metszi a vízsintes a sin görbét: (y abszolút értékével kifejezve)

π + arcsin(|y|)

Negatív y esetén arcsin(y) negatív szám, ezért ez így írható:

π - arcsin(y)

A második metszet 2π-től visszafelé ugyanilyen távolságra van, tehát a szakasz hossza:

π - 2·arcsin(|y|)

ami abszolút érték nélkül:

π + 2·arcsin(y)

A második perióduson ugyanígy adódik a hossz, szóval azt kapjuk, hogy negatív y-okra is pont ugyanaz lett a valószínűség képlete, mint pozitívakra.