Adott 4 számkártya: a, a, b, b, ahol a, b rögzített egymástól és 0-tól különböző két számjegy. Bizonyítsa be, hogy a legnagyobb és legkisebb előállítható négyjegyű szám különbsége osztható 9-cel!?

Egy szam maradeka 9-cel osztva ugyanannyi mint a szamjegyei osszegenek a maradeka 9-cel osztva:

Negyjegyu szamok eseten ez ugy nez ki, hogy mondjuk

legyen a szam az (xyzw) szam az x, y, z es w szamjegyekbol,

vayis maskent 1000x+100y+10z+w

1000x+100y+10z+w = 999x+99y+9z+ (x+y+z+w) =

= 9(111x + 11y + z) + (x+y+z+w)

Ami 9-cel osztva ugyanannyi maradekot ad, mint (x+y+z+w), vagyis a szamjegyek osszege

Akkor tehat mindegy milyen sorrendbe irjuk le a szamot ugyanazokbol a szamjegyekbol, ugyanannyi maradekot fog adni 9-cel osztva. Mindket szam 9-szer valami + m maradek.

Mondjuk az egyik szam 9*S+m a masik meg 9*T+m

A kulonbseguk:

9*S+m - (9*T+m)=9*(S-T) ami oszthato 9-cel.

Ahhoz, hogy 18-cal is oszthato legyen, 2-vel is oszthatonakkell lennie.

Ha azonos paritasu a es b, akkor a kulonbseg mindig oszthato lesz 2-vel.

Ha kulonbozo paritasuak akkor meg nyilva nem.

Ez a fentiekhez hasonloan atgondolhato.