Ha egy átló felezi egy négyszög területét, akkor felezi a másik átlót?

Helyezzuk az egeszet koordinata rendszerbe:

Mondjuk az x tengely legyen az atlo ami felezi a negyszog teruletet:

A(0,0) B(a,-m), C(1,0), D(b, m)

Addig amig a B es a D pontok y koordinataja ugyanaz ellentetes elojellel, a felso es also haromszog terulete ugyanaz lesz, fuggetlenul az "a" es "b" konstansok erteketol.

A masik atlo az a BD szakasz lesz, aminek a felezopontja:

((a+b)/2, (m+-m)/2) = ((a+b)/2, 0)

ami valoban rajta van az elso atlon.

Csak abban az esetben, ha a másik átló is felezi a négyszög területét!

Bizonyítás:

A négyszögnek 4 oldala van, ha mindkét átló felezi a területet akkor 4 egyenlő területre esik szét a négyszög.

A négy egyenlő területnek ugyanakkora oldalúaknak kell lenniük!

Tehát az átlók felezték egymást!

Vagy mondhatnám azt is, hogy csak abban az esetben, ha a négyszög csúcsai köré olyan kör írható melynek középpontja az átlók metszéspontja.

Tehát ha a négyszög húrnégyszög.

:D

Nade ha nem felezi a másik átló is a területet, akkor az átlók sem felezik egymást!

Én a feltett kérdésre válaszoltam...

A 2. nem jó.

"Úgy kezdődik, ha mindkét átló felezi a területet."

De ezt senki se mondta, ezért a 2. nem bizonyít semmit.

Pl. Deltoid, egyik átló felezi a területet. Ez az átló felezi a másik átlót.

Erre voltunk kíváncsiak.

De ettől még a deltoid másik átlója nem felezi a területet.