Vegyünk néhány pozitív egész számot, melyek összege 20. Szorozzuk össze őket, így kapjuk az X számot. Mennyi X maximális értéke?

Hehe, aranyos feladat.

Most nincs időm végigszámolni, de szerintem

számtani-mértani közép közti egyenlőtlenség kell hozzá.

5 db 4-essel a szorzat 1024

10 db 2-essel szintén 1024.

A kettő között keressél nagyobbakat.

6db 3as és 1db 2es

2*3^6=1458

nekem eddig ez lett a legnagyobb:)

Írjuk fel a számtani és mértani közép közti egyenlőtlenséget.

(a1+a2+...+an)/n>=n.gyök(a1*a2*...*an) n. hatványra emelve:

(20/n)^n>=a1*a2*...*an

Ez a kiindulási alap.

n=6-ra ez 1371

n=9-re 1321

csak n=7 vagy 8 jöhet szóba.

Most tegyük föl, hogy a1=1.

Ekkor az jön ki, hogy

(19/n)^n>=1*a2*...*an

Ha itt végignézzük minden n-re n=7 a maximum, 1085 ami még mindig túl kicsi

VAGYIS 1-es nem lesz a számok között.

n=7 esetén

Ugye muszáj lenni legalább 1db 2-esnek.

A maradék számra felírhatjuk megint az egyenlőtlenséget, és kijön, hogy a max 2,3,...,3=1458 ahogy arról már szó volt.

n=8 esetén

kell legalább 4db 2-es.

Ekkor a max 4db 2-es, 4db 3-as 1296

Több eset nincs.

Tehát X max 1458