Ez az utolsó mátrixos négyegyenletes feladat, és erre mi a megoldás?

Bizonyára tanultátok a Gauss eliminációt. Írjad fel, bizonyára az jön ki, hogy két sor csupa 0 lesz belőle, vagyis marad két egymástól független egyenlet.

Tudod, Gauss-nál soroknak veheted a valahányszorosát, meg kivonhatsz egymásból sorokat, stb. A cél, hogy az átlóban 1-esek legyenek.

Ha nem boldogulsz, szólj.

Megint megnézed a megoldást s és t van benne.

Vagyis 2db szabad változód lesz. Bármelyik kettő lehet, de válasszuk x1 és x2-őt annak.

A megoldás így fog kinézni

x1

x2

x3=a*x1+b*x2+c

x4=d*x1+e*x2+f

x1=x2=0 esetén jön ki a bázismegoldás

[0,0,c,f]

Ezenkívül van egy 4x2-es mátrix (amit akár szét is lehet vágni 2 vektorra, de én a mátrixot jobban szeretem.)

NA szóvalebben a mátrixban x1 és x2 szabad, amit úgy fejezünk ki, hogy ott egységmátrixot kell írni.

x3,x4 sorába pedig az együtthatókat.

[1 0]

[0 1]

[a b]

[d e]

Ilyen lesz a megoldás. Ha ezt végiggondolod, akkor szerintem könnyebb megoldani.

4 ismeretlen van és 4 egyenlet.

DE a 4 egyenletből csak 2 lesz független (Ezt onnan tudom, hogy a megoldásban odaírták, hogy s és t. Ha csak egy s lenne odaírva, akkor a 4-ből 3 független lenne)

Úgyhogy válasszunk ki két független egyenletet, mondjuk az első kettőt, és a többi egyenelttel ne foglalkozzunk.

5x1-6x2+4x3+2x4=4

-x1+x2+2x3+3x4=3

Na most, ahogy az elején írtam x3-at és x4-et kéne kifejezni.

Ha 2. egyenletet megszorzom 2-vel, és kivonom őket, akkor x3 kiesik és x4-et ki lehet fejezni.

5x1-6x2+4x3+2x4=4

-2x1+2x2+4x3+6x4=6 (2-ból kivonom az elsőt)

-7x1+8x2+4x4=2

x4=1/2+7/4x1-2x2

x3-at úgy tudom kifejezni, ha x4 esik ki. Ehhez 3/2-el kell szorozni az első egyenletet.

7,5x1-9x2+6x3+3x4=6

-x1+x2+2x3+3x4=3 (Elsőből vonom ki a másodikat)

8,5x1-10x2+4x3=3

x3=3/4-8,5/4x1+2,5x2

Vagyis a megoldás:

x1

x2

x3=3/4-8,5/4x1+2,5x2

x4=1/2+7/4x1-2x2

[0,0,3/4,1/2]+[1;0;-2,125;1,75]*s+[0;1;2,5;-2]*t

Nem árt ellenőrizni, erre az excel kiválóan alkalmas.

A megoldás most is jó.

A 3. és 4. egyenlettel nem foglalkoztam. Ha behelyettesíted x3 és x4-et azokba, akkor AZONOSSÁGNAK kell kijönnie.