Valaki segít ezt bizonyítani?

1008=7*9*16

Meg kell mutatni, hogy mindhárommal osztható külön-külön.

Először alakítsuk át a kifejezést:

9*9^n-16*16^n+7*25^n=9^(n+1)-16^(n+1)+7*25^n

Először nézzük a 7-est.

A harmadik tag osztható, elég megmutatni, hogy az első kettő is.

9^(n+1)-16^(n+1) szorzattá bontható (lásd függvénytábla)

Úgy kezdődik, hogy (9-16)* valami

9-16=-7 vagyis osztható -7-el. Akkor 7-el is.

(Oszthatóság tekintetében nincs különbség 7 és -7 között.

Jöhet a 9, ugyanezt kell csinálni

-16^(n+1)+7*25^n -ről kell belátni, hogy 9 többszöröse.

Ehhez kicsit alakítani kell:

-16*16^n+7*25^n=-7*16^n-9*16^n+7*25^n=

-9*16^n+7(25^n-16^n)

Első tag osztható 9-el, második tag megint szorzattá bontható 25-16=9

Végül 16-al való oszthatóság:

9*9^n+7*25^n=9*9^n+7*(9+16)^n

Itt ha a 2. tagot kibontjuk, akkor minden tag osztható lesz 16-al, mert olyan tagok vannak, hogy 16^n+a1*9*16^(n-1)+a2*9^2*16^(n-2) stb

(a1, a2 valami konstans)

Kivéve az utolsó tagot, ami 7*9^n

Vagyis, ha kivessük a 16-os tagokat, akkor ez marad:

9*9^n+7*9^n=16*9^n

Ezért az egész is osztható 16-al.

"9^(n+1)-16^(n+1) "

Most nem találom a pontos képletet, de

a^n-b^n mindig szorzattá bontható. Pl.

a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)

Ugyanígy szorzattá bontható mindig, a függvénytáblában elvileg benne van.

Az első tag mindig (a-b) lesz