Határozzuk meg a következő kifejezés minimumát. E (x, y) =x^2+y^2-3xy-3x-3y+2021, ahol x, y eleme R. Hogy oldható ez meg?

Ha tudsz derivalni, akkor derivald parcialisan x szerint, majd y szerint, es mindketto zero kell legyen (mert ekkor van a fuggvenynek szelsoerteke).

vagyis dE/dx = 0, dE/dy = 0, megoldod a ket egyenletet, es megkapod x-et es y-t (majd masodrendu derivalttal ellenorzod, hogy ez valoban minimumpont).

Ha nem tanultal derivalni, valahogy csoportositsd ossze a kifejezeseket, hogy teljes negyzetek jojjenek ki, vagyis

E = (...)² + (...)² + konstans

Egyebkent az altalad irt kifejezesnek nincs minimuma, barmilyen kis / nagy erteket felvehet. Nem lehet, hogy elirtal valamit? (Ha pl -3xy helyett csak -xy lenne, akkor van minimuma, espedig a x=3 es y=3 pontban).

"Egyebkent az altalad irt kifejezesnek nincs minimuma"

Ez szerintem ránézésre se igaz.

Van benne két négyzetes tag, ami 'elnyomja' a sima tagokat, így ránézésre kizárt, hogy bármilyen kis értéket felvegyen a függvény.

Szóval, ahogy írtad.

Parciális deriváltakat 0-vá tenni.

Utána második deriváltakkal lehet ellenőrizni, hogy tényleg szélsőértékünk van-e. (Igen)

Ráadásul valóban minimum lesz.

Ifjutitan: a ket negyzetes tag -xy vagy -2xy tagot elnyomna, de -3xy-t nem!

Itt van pl egy egyszeru (es barbar) bizonyitas, hogy E barmilyen nagy negativ erteket felvehet:

E(x,x) = -x² - 6x + 2021

E(x+1,x+1) = ... = E(x,x) - 2x - 7

tehat barmely pozitiv x-re:

E(x+1,x+1) < E(x,x)

Vagyis ha berakok ket pozitiv szamot x-nek es y-nek, es tetszolegesen novelem ezeket, E erteket a vegtelensegig csokkenthetem.

Mankar, igazad van. Ezt elnéztem.

De a parciális deriváltak, és a Hesse mátrix felírásával azt adta ki, hogy minimuma van, akkor az gondolom valami lokális minimum lehet.

A kérdezőnek:

Nem tudod megcsinálni deriválás nélkül, az lenne a módszer, hogy átírod teljes négyzetek összegére, de ezt nem lehet.