Matek házi:Szorzattá alakítás: 25y^4-10y^2x+x^2?

A képlet: (y-x)^2

helyettesítsd be.

Ebben az estben y=y^2

Ismerni kell ezt az összefüggést:

a² - 2ab + b² = (a-b)²

Ezt gondolom tudod is. Aztán nézni kell a kifejezést egy darabig, és rá kell jönni, hogy ez is valami hasonló, hiszen 25=5², y^4=(y²)², ezért 25y^4=(5y²)². Vagyis a=5y² helyettesítéssel jól járunk. A közepén a 10y²x kellene a 2ab legyen, 2·(5y²)x, abból b=x jön ki. És rendben is van, mert a végén az x² miatt is b=x kell legyen.

Vagyis a=5y², b=x, erről a teljes négyzetről van szó: (5y² - x)².

===

Kicsit bonyolultabb lenne a helyzet, ha mondjuk ezt kellene szorzattá alakítani:

25y^4 - 10y²x - 3x²

(Kicsit módosítottam csak az előzőn.)

Most is ugyanúgy kell elindulni, feltételezzük, hogy valaminek a négyzete lesz. Az elejéből jónak tűnik az a=5y² helyettesítés, a közepéből b=x, de a vége nem illeszkedik. Szóval ott tartunk, hogy:

(5y² - x)² = 25y^4 - 10y²x + x²

és nem ilyet kell csinálnunk. Ebből 4x²-et le kell vonni, hogy a feladat kifejezését kapjuk, Vonjuk hát ki:

(5y² - x)² - 4x²

Most egy másik azonosságra kell gondolni. Biztos tanultátok ezt is:

a² - b² = (a+b)(a-b)

Ezt rá tudjuk húzni a fentire, hiszen két négyzet különbségéről van szó (a=5y²-x, b=2x). Akkor viszont szorzatot is tudunk belőle csinálni (a+b)(a-b) szerint:

(5y² - x + 2x)(5y² - x - 2x)

vagyis (5y² + x)(5y² - 3x)

és ez tényleg ugyanannyi, mint 25y^4 - 10y²x - 3x²

====

Ha meg kicsit máshogy módosítom a feladatot:

25y^4 - 10y²x + 2x²

(x² helyett 2x² van a végén)

Most is úgy indulunk el, hogy hátha négyzetről van szó. Nem játszom végig újra, a négyzet most is ugyanaz, de most x²-et hozzá kell még adni:

(5y² - x)² + x²

Ha ilyen jönne ki, vagyis két négyzet összege, akkor ez azt jelenti, hogy nem lehet szorzattá alakítani!