Exponenciális egyenletrendszerek Valaki esetleg?

[link]

[link]

Ezeknek nem látom sok értelmét, szerintem elírtad...

Használd Te is a wolframalpha.com oldalt az egyenletek megadásához!

A második egyenletrendszerben ha jól értem, akkor csak a kitevő zárójeleit nem tetted ki, s két új ismeretlennel kell megoldani: legyen a=16^x és b=16^y .

Ekkor

a^2+b^2=36

a*b=8*gyök(2)

Ez már könnyen megoldható...

x-re és y-ra nem kell kikötést tennünk, minden esetben elvégezhetőek a műveletek.

Mivel (a^b)^c = a^(b·c) és 16=2^4, az első egyenlet így alakul:

2^[(x²+2x-4)·y²] = 2^(-4)

Az exponenciális függvény szigorúan monoton, ezért a kitevőknek azonosnak kell lenniük:

(x²+2x-4)·y² = -4

A második egyenlet:

√(3^x) = 6√(27^(y-1))

mivel 27=3³, hatodik gyök pedig négyzetgyök a harmadik gyökből:

√(3^x) = √(3^(y-1))

A 3 pozitív, ezért a gyökvonás és a hatványozás felcserélhető:

(√3)^x = (√3)^(y-1)

Most is a szigorú monotonság miatt:

x = y-1

Vagyis ez a 2 egyenletünk van:

(x²+2x-4)·y² = -4

x = y-1

Ez már nem olyan bonyolult:

(x²+2x-4)·(x+1)² = -4

(x^4+2x³-4x²) + (2x³+4x²-8x) + (x²+2x-4) = -4

x^4 + 4x³ + x² - 6x = 0

x(x³ + 4x² + x - 6) = 0

Ránézésre látszik, hogy a zárójeles résznek x=1 gyöke, tehát (x-1) kiemelhető:

x(x-1)(x²+5x+6) = 0

Az utolsó zárójel pedig (x+2)(x+3). Ez is viszonylag könnyen látszik, de a másodfokú megoldóképlettel is kijön.

x(x-1)(x+2)(x+3) = 0

Vagyis a gyökök:

x=0, y=1

x=1, y=2

x=-2, y=-1

x=-3, y=-2

... ráadásul ha fordítva helyettesítek be, akkor még negyedfokú egyenlet se jött volna ki, szóval akkor tényleg egyszerű lett volna a vége:

Szóval innen:

(x²+2x-4)·y² = -4

x = y-1

máshogy:

((y-1)²+2y-2 -4)·y² = -4

(y²-5)·y² = -4

Legyen z=y²

(z-5)z = -4

z²-5z+4 = 0

Ennek gyökei 1 és 4 (megoldóképletből)

y²=1 illetve y²=4

innen már ugyanaz jön ki: y=±1 vagy ±2, stb...

Vurugya Béla jól kezdte, onnan már illene neked is megtudni csinálni.

a=16^x, b=16^y (16^(x+y) = 16^x · 16^y = a·b)

a² + b² = 36

a·b = 8√2 ----> b = 8√2/a, ezt behelyettesítjük az elsőbe:

a² + 128/a² = 36

Jelöljük a²-et z-vel:

z + 128/z = 36

z² + 128 = 36z

Ezt oldjad meg a másodfokú egyenlet megoldóképletével. Lesz két megoldás. Azokból a-ra kijön 4 megoldás, két pozitív és 2 negatív. Mivel 16^x pozitív, a negatív a-k nem jók, a pozitívakból kijön x. Írd meg, mire jutottál.