Trigonometria. Valaki segítene befejezni a feladatot?

Használd fel az

(a+b)*(a-b)-re, a sin^2(x)+cos^2(x)-re illetve a sin(3x)-re vonatkozó azonosságokat. Ha ilyen szintű matematikai feladatokkal foglalkozol, akkor feltételezem, hogy az első kettőt ismered fejből, a harmadikat meg meg tudod nézni.

No. Az egyenlőséget úgy is tökéletesen tudod bizonyítani, ha mind a két oldalt ugyanarra az alakra hozod. Magyarán mind a két oldallal babrálni kell:

4 * sinx * (sin π/3 * cosx + cos π/3 * sinx) * (sin π/3 * cosx – cos π/3 * sinx) = sin3x

Magyarán eddig csupán addíciós tételek segítségével átalakítottad a sin(π/3 + x) és sin(π/3 – x) –eket.

A bal oldalt egy időre nem zavarod, jöhet a jobb oldal:

4 * sinx * (…) * (…) = sin (x+ 2x)

Vagyis: bal oldalt marad az, amit még az előbb kihoztam, jobb oldalt pedig a sin3x-et úgy fogod fel, mint sin (x+ 2x). Elvégre x+ 2x= 3x :D.

Ekkor újabb addíciós tétel alkalmazható, ezúttal a jobb oldalon:

4* sinx * (…) * (…) = sinx * cos2x + cosx * sin2x

Sin2x-re és cos2x-re ismét vannak addíciós tételeink! Tovább dolgozunk a jobb oldallal.

4* sinx * (…) * (…)= sinx* (cos2x- sin2x) + cosx* 2sinx* cosx

Egyszerűsítsünk mind a két oldalt sinx-szel! (A jobb oldalon fontos, hogy mivel összegünk van, ezért előzőleg kiemelnünk kell, vagy legalábbis ne felejtsük a jobb oldalon kétszer is „kiejteni” sinx-et!) Azt fontos ekkor megállapítanunk, hogy mivel sinx-szel fogunk osztani, így sinx nem lehet egyenlő 0-val- tehát kell esetvizsgálás, h mivan ha mégis, stb, de most hadd haladjak :D

4* (…) * (…)= cos2x- sin2x+ 2cos2x

4* (…) * (…)= 3cos2x- sin2x

A jobb oldalnál elérkeztünk a végső alakhoz. A cél, hogy ugyanezt kihozzuk a bal oldalon is, mutatom, hogyan:

Tudjuk a szögfüggvények alapján, hogy cos π/3= ½ és sin π/3= gyök3/2, így:

4 (gyök3/2* cosx + ½ sinx) * (gyök3/2 cosx – ½ sinx)= 3cos2x- sin2x

Két szám összegének és különbségének a szorzata nevezetes azonosság! (a+b)(a-b)= a2-b2!, így:

4 (3/4 cos2x – ¼ sin2x)= 3cos2x- sin2x

Szorozzuk be azzal a 4-es szorzóval tehát a bal oldalt! Tádááám:

3cos2x- sin2x= 3cos2x- sin2x

Bebizonyítottuk, hogy a két oldal egyenlő.