Sorozat határérték-számítás?

Ilyen A - B alakú sorozatok határértékét általában úgy lehet megoldani, hogy bővíted A + B / A + B-vel (így az értéke ugye nem változik, mert tulajdonképpen 1-vel szorzod, de viszont kapod A^2 - B^2 / A + B-t)

Ha megnézed itt az A^2 - B^2 az pont 2n - 8, ezt osztod A + B-vel (amit itt most négyzetgyök alatt 4n^2 +- (n-4))

Ezek után kaptál egy törtalakú értéket, ezeknek a határértéket pedig úgy tudod általában megkapni, hogy "egyszerűsítesz/osztasz" a nevező legmagassabb fokú változójával. Itt a nevezőben n^2 a gyök alatt van, tehát n-el osztasz le.

Kapod, hogy 2 + 8/n osztva (gyök alatt [4-1/n + 1/n^2] + gyök alatt [4 + 1/n - 1/n^2] és az egész szorozva -1-vel (mivel számlálóban -2(n-4) volt

Egy érték határértéke megegyezik a tagok határértékének összegével / hányadosával / szorzatával (tehát ha egyenként kiszámoljuk a tagok határértékét és azon végezzük el a műveleteket, akkor megkapjuk az egész határértékét)

"(-1)*(2 + 8/n) osztva (gyök alatt [4-1/n + 1/n^2] + gyök alatt [4 + 1/n - 1/n^2])"

Ha n tart végtelenhez:

2 tart 2--höz

8/n tart 0-hoz

Tehát a számláló 2-0, azaz 2-höz tart

4 tart 4-hez

1/n tart 0-hoz

1/n^2 tart 0-hoz

Tehát a nevező első tagja tart gyök alatt[4-0+0], azaz 2-höz

Hasonlóan a második tagja tart gyök alatt[4+0-0], azaz úgyszint 2-höz

Akkor a nevező maga tart 2 + 2-höz, azaz négyhez

-1 tart -1-hez

Tehát az egész határértéke:

(-1)*(2/4), ami -1/2

"nálam a^2-b^2 = -2n+8"

Igen...valahogy sikerült ezt teljesen elírnom. Tehát ebből kiemelek -1-t és lesz 2n - 8. Ezért írtam elsőnek 2n - 8-t, utána nem tudom, hogy miért írtam +8-t. Elnézést, bár igazából a megoldást nem folyásolja be.

"ezt a részt viszont abszolút nem értem:"

ha gyök alatt [4n^2-n+4] + gyök alatt [4n^2+n-4]-et osztok n-nel akkor nálam nem a te eredményed jön ki"

Itt két problémát tudok elképzelni: az egyik, hogy megint impreciíz voltam és teljesen ignoráltam, hogy most 4 vagy 1 a konstans. (Hisz végül bármilyen konstans c-re c/n^2 az 0-hoz fog tartani).

A másik, hogy te azt gondolod, hogy gyök alatt(a) / n, az gyök alatt (a/n), de ez nem igaz. gyök alatt (a) / gyök alatt (n) egyenlő gyök alatt (a/n)-vel.

Tehát gyök alatt[a] / n = gyök alatt[a] / gyök alatt[n^2]* = gyök alatt[a/n^2]. Itt most a 4n^2 + n -4, ami n^2-vel osztva 4 + 1/n - 4/n^2.

*mivel gyök alatt[n^2] = n (itt megjegyzem, hogy persze eredetileg |n| lenne, illetve a gyök alá bevitelnél is kéne figyelembe venni az előjelét, de mivel n tart +végtelenhez, ezért itt kivételesen nem számít)

Ha egyike sem a probléma okozója, akkor írd le szerinted mi lenne helyette.

Tehát mégegyszer elnézést az precíztelenségekért és itt van a kijavított tört:

(-1)* {2 - 8/n osztva (gyök alatt [4- 1/n + 4/n^2] + gyök alatt [4 + 1/n - 4/n^2]}

Igen, bár azért amikor füzetedbe leírod, akkor figyelj arra, hogy a -2 / gyök4 + gyök4 előtti kérdőjel nem igaz, csak ha az előtt mindig kiteszed a lim(n->végtelen)-t és utána meg már nem.

Illetve esetleg illene írni valamit az n-vel való osztál elő, hogy n->végtelenhez => gyök(...)/n = gyök(.../n^2). Mert ugye ha (függvényeknél) minusz végtelenhez tartana, akkor kint maradna a minusz előjel.

De ezek már csak precízség kérdések, lehet magadtól is gondoltál volna rájuk.

"egy sorozat alsó korlátja megegyezik a sorozat első tagjával, felső korlátja a határértékkel?"

Csak ha monoton növekszik.

Pl. egy monoton csökkenőnél pont a fordítottja igaz: határértéke az alsóhatár, felsőhatára az első tag.

Illetve ha megnézed a sin(x) / x-t ábráját google-n, akkor látod, hogy tarthat úgyis valami 0-hoz (vagy bármihoz), hogy közben folyton kisebb és nagyobb lesz nála.

Illetve te korlátról beszélsz, ami viszont teljesen rossz kijelentés. Bármi korlátja a sorozatbaj, aminél csak nagyobb vagy kisebb értéke van. Az alsókorlátok maximuma az alsóhatár, a felsőkorlátok minimuma az alsóhatár. A határok azok, amik úgy tényleg körbe fogják a függvényt/sorozatot.

Pl. n sorozat esetén alsóhatár a 0 (ha 0-tól indul a sorozat. Mivel meglátás kérdése, hogy 0-tól vagy 1-tól kezdődik), és ez alsókorlát is. De a -99999 vagy a -321432534, illetve a -pí is alsókorlát.

"a lim-et csak határérték számolásnál kell kiírni, ha jól tudom, így van?"

Lim a limesz vagy limit szóból jön, ami angolul/latinul maga a határérték. Tehát lim() egyenértékű azzal, hogy () határértéke. Tehát igen, csak annál kell kiírni.

"valamint meg tudnád mondani, hogy milyen idegen kifejezést használunk a határértékre, korlátosságra és küszöbindexre? valami olyasmi rémlik nekem, hogy konvergencia, de lehet, hogy van több idegen kifejezés is."

Mi órán csak a valamihez való tartásra használtunk idegenszót, ez lenne a konvergencia (szószerint haljalni valamihez). Többire én még nem hallottam mást.

Nagyon szívesen.

"felsőkorlátok minimuma az alsóhatár"

Természetesen itt felsőhatárt akartam írni!

Illetve itt még kijelentem: Ha egy sorozatnak van egy alsó/felsőkorlátja, akkor végtelen alsó/felsőkorlátja is van. Mert, ha A alsó korlát, akkor minden A - n (n>0) is alsó korlát.