Hogyan lehet megoldani?

Valami trükkel lehet, hogy egyszerűbben is kijön, nekem nem jutott más az eszembe, mint ez:

y²+4x = 5

y + x² = 2

A másodikból: y = 2-x², ezt behelyettesítjük az elsőbe.

(2-x²)² + 4x = 5

4 - 4x² + x^4 + 4x = 5

x^4 - 4x² + 4x - 1 = 0

Negyedfokú egyenlet lett.

Szorzat alakban így nézne ki ez:

(x-a)(x-b)(x-c)(x-d) = 0

Itt a,b,c,d az egyenlet 4 gyöke. Vedd észre, hogy ha visszaszoroznánk, akkor az x nélküli (konstans) tag a·b·c·d lenne, ami most minusz 1.

Nézzük meg hátha mázlink van és van egész gyök. Ha csupa egész gyökei lennének, akkor mind a 4 gyök abszolút értéke osztója lenne az 1-nek (hisz szorzatuk 1). 1-nek csak az 1 az osztója, tehát mázli esetén az 1 vagy a −1 gyök lesz.

Ránézésre kijön, hogy x=1 tényleg gyöke az egyenletnek. Ki lehet a kifejezésből emelni (x-1)-et:

(x−1)(x³+x²−3x+1) = 0

Megint 1 a konstans tag, és ránézésre megint látszik, hogy az x=1 másodjára is gyök:

(x−1)²(x²+2x−1) = 0

A másodfokút meg már meg lehet oldani a megoldóképlettel.

Megjegyzés:

Az (x−1) kiemelésénél a szorzat másik tényezője nem feltétlenül látszik ránézésre, hogy mi is lesz. Valójában polinom-osztással kell kiszámolni, de azt elég nehéz itt leírni, kihagytam azt a lépést.

Azért a másodikat mégis leírom:

(x³+x²−3x+1) : (x-1) = x² meg még valami.

Kivonom a polinomból az x²·(x−1)-et:

(2x²−3x+1) : (x−1) = 2x meg még valami.

Kivonom a polinomból a 2x·(x−1)-et:

(−x+1) : (x−1) = −1

Tehát a polinomosztás eredménye: x²+2x−1

Annyit tennék hozzá az előző hozzászóló megoldásához, hogy általánosságban is igaz, hogy ha van egy

a_n*x^n+...+a_1*x+a_0=0 egyenleted, akkor az összes racionális megoldás előáll p/q alakban, ahol p|a_0 és q|a_n. Ugyanis, ha p/q (p\=0,q\=0,p és q relatív prím) racionális megoldás, akkor

a_n*(p\q)^n+...+a_1*(p\q)+a_0=0

megszorozva q^n-el:

a_n*p^n+a_(n-1)*p^(n-1)*q+...+a_1*p*q^(n-1)+a_0*q^n=0

Az első tagot kivéve mindegyik tagban van q-szorzó, ezért q|a_n*p^n, de p és q relatív prímek, így q|a_n. Hasonlóan kapható, hogy p|a_0