Egyenletrendszer megoldás?

Négyzetgyök miatt kikötjük, hogy x>=0 és y>=0. Emeljük négyzetre a második egyenletet: x+2*GYÖK(xy)+y=16. Ezt rendezve x+y=16-2*GYÖK(xy), de ez viszont 10-zel egyenlő az első egyenlet szerint.

Innen 2*GYÖK(xy)=6, ahonnan újabb négyzetre emeléssel és rendezéssel x=9/y. Helyettesítsük ez az elsőbe: 9/y+y=10. Itt szintén rendezve az y^2-10y+9=0 másodfokú egyenlet adódik. Ennek gyökei y_1=1 és y_2=9. Végül ezekkel x_1=9 és x_2=1 adódik. Ellenőrzéssel igaz kijelentést kapunk, így ezek valóban megoldások.

A feladat

x + y = 10

√x + √y = 4

Legyen

√x = a

√y = b

Ezzel az egyenletrendszer

a² + b² = 10

a + b = 4

A másodikat négyzetre emelve

a² + b² = 10

a² + 2ab + b² = 16

A másodikból kivonva az elsőt

2ab = 6

ab = 3

Az új egyenletrendszer

a + b = 4

ab = 3

Az elsőből az egyik változót kifejezve és behelyettesítve a másodikba

b = 4 - a

a(4 - a) = 3

Felbontva és rendezve a következő másodfokú egyenlet adódik

a² - 4a + 3 = 0

Ennek gyökei

a1 = 3

a2 = 1

Így a megoldások

x = a1²

x = 9

=====

y = a2²

y = 1

=====

vagy fordítva.

DeeDee

***********