Tudnátok segíteni ezekben a 10. osztályos matek feladatokban?

1)

Ha mindkét gyök pozitív, akkor a szorzatuk is pozitív meg az összegük is. Vagyis

x1·x2 = c/a > 0 : 6p/(p-3) > 0

x1+x2 = -b/a > 0 : 2p/(p-3) > 0

Tehát p/(p-3) > 0

Ez pedig p < 0 illetve p > 3 esetén lesz igaz.

A diszkriminánst is nézni kell, hogy valósak legyenek a gyökök és kettő legyen:

D > 0 : b² > 4ac :

4p² > 24p(p-3)

72p > 20p²

a) Ha p<0: bal oldal negatív, jobb pozitív, nincs megoldás

b) Ha p>3:

72 > 20p

p < 72/20 = 3,6

Vagyis a megoldás a (3; 3,6) nyílt intervallum.

2)

x1·x2 = c/a = p+5

x1+x2 = -b/a = 2(p-1)

a) 1 pozitív és 1 negatív gyök: a szorzatuk negatív:

p+5 < 0, tehát p < -5

b) 2 pozitív gyök: szorzat és összeg is pozitív:

p > -5, és

2(p-1) > 0, tehát p > 1

Most is kell nézni a diszkriminánst, hogy legyen 2 gyök:

D = b²-4ac > 0

4(p-1)² > 4(p+5)

4p² - 8p + 4 > 4p + 20

4p² - 12p - 16 > 0

p² - 3p - 4 > 0

(p-3/2)²-9/4 - 4 > 0

(p-3/2)² > 25/4

|p-3/2| > 5/2

Ez p<-5 esetén (a. eset) teljesül, míg p>1 (b. eset) esetén:

p - 3/2 > 5/2

p > 8/2 = 4

Szóval a megoldások: p < -5 illetve p > 4

Viszont van egy harmadik eset is:

c) egyetlen egy pozitív kettős gyök: D=0, -b/2a pozitív:

-b/2a = 1-p > 0, tehát p < 1

D = 0: ezt az előbb már levezettük ">0"-ra. Most "=0"-ra:

|p-3/2| = 5/2

Ha p<1, akkor az absz.érték belseje negatív:

3/2 - p = 5/2

p = -1

Vagyis ez a három megoldás lehet:

p < -5 vagy p = -1 vagy p > 4

3)

Két részre kell bontani, de ki is kell kötni, hogy milyen feltétel esetén lesz az az ág:

3·|x²-4x+2| = 5x+16

a) Ha x²-4x+2 ≥ 0

vagyis (x-2)²-4 + 2 ≥ 0

vagyis |x-2| ≥ √2

vagyis

a1) ha x-2≥0, tehát x≥2:

x-2 ≥ √2

x ≥ 2+√2

Ez tényleg ≥2, tehát változatlanul ez a feltétel

a2) ha x-2<0, tehát x<2:

2-x ≥ √2

x ≤ 2-√2

Ez tényleg <2, tehát változatlanul ez a feltétel

Vagyis az a) eset akkor áll fenn, ha x ≥ 2+√2 vagy x ≤ 2-√2.

Ilyenkor az abszolút érték egyszerűen elhagyható:

3·(x²-4x+2) = 5x+16

3x² - 12x + 6 = 5x + 16

3x² - 17x - 10 = 0

Ennek megoldásai x1 = −0,537 és x2 = 6,204

Ez mindkettő teljesíti az x ≥ 2+√2 vagy x ≤ 2-√2 feltételt, tehát mindkettő jó megoldás.

b) Ha x²-4x+2 < 0

Vagyis |x-2| < √2 (ugyanúgy, ahogy az előbb)

b1) ha x-2≥0, tehát x≥2:

x-2 < √2

x < 2+√2

Ez valójában ezt jelenti: 2 ≤ x < 2+√2

b2) ha x-2<0, tehát x<2:

2-x < √2

x > 2-√2

Ez valójában ezt jelenti: 2-√2 < x < 2

A kettő együtt azt jelenti, hogy a b) esetben 2-√2 < x < 2+√2

Ilyenkor az abszolút érték negálódik:

-3·(x²-4x+2) = 5x+16

-3x² + 12x - 6 = 5x + 16

-3x² + 7x - 22 = 0

3x² - 7x + 22 = 0

Ennek a diszkriminánsa negatív, nincs megoldás.

--

Valószínű neked is ugyanez jött ki, ugyanis nem volt semmi hatása az x-re adott feltételeknek, amiket hosszan levezettem. Biztos, hogy nincs elírás valahol a feladatban?