Hányféleképpen lehet kifizetni 2012 lejt egy-, öt- és tízlejes bankjegyekkel, mindhárom fajta bankjegy, vagy csak egy részük felhasználásával?

Az utolsó 2 lejt mindenféleképpen 2 darab 1 lejessel kell fizetni, úgyhogy az nem ad semmit sem a lehetőségekhez. Vagyis ugyanaz a megoldás, mint hogy 2010-et hányféleképpen lehet kifizetni.

2010-et fel lehet osztani 201 darab 10 lejes csomagra.

Egy 10 lejes csomagot így lehet kifizetni:

a) 1 darab 10 lejessel

b) 2 darab 5 lejessel

c) 1 darab 5, és 5 darab 1 lejessel

d) 10 darab 1 lejessel

Ez 4-féle lehetőség.

A 201 darab csomagból néhányat az a) módszer szerint, más néhányat a b) szerint, megint mást a c) szerint, a maradékot a d) szerint fizetjük ki. A kérdés az, hányféleképpen tudjuk 4 csoportba osztani a 201 darab csomagot? (Bármelyik csoport lehet üres, vagy lehet mind a 201 csomag egyetlen csoportban is, stb., de a csoportok összege 201.)

Ezt úgy mondják, hogy 4 elem 201-ed osztályú ismétléses kombinációja, de ha ez durván hangzik (nekem igen), van egy egyszerű magyarázat a kiszámolásához:

Először nézzük a sima, ismétlés nélküli kombinációt. Ezt nagyon jegyezd meg, ez nagyon sokszor kell: n elemből k-t n alatt a k féleképpen választhatunk ki, ha nem számít a sorrend.

[Ezt itt a számítógépen úgy tudjuk leírni, hogy (n alatt k), a papíron egymás alatt van az n és k a zárójelben.]

Most térjünk vissza erre a feladatra (az ismétléses kombinációra) :

Képzelj el válaszfalakat a csoportok között. Van 3 válaszfal, ez ad ki 4 csoportot. Van tehát 201 csomag és 3 válaszfal, összesen 204 "valami". Írjunk le egymás mellé 204 karikát, aztán abból válasszunk ki hármat, azok lesznek a válaszfalak, a maradék 201 karika pedig a 10 lejes csomagok. 204-ből (204 alatt 3) féleképpen tudunk kiválasztani hármat. Gondold végig, így a válaszfalakkal elhatárolt bármelyik részben 0-tól 201-ig bármennyi 10 lejes csomag lehet úgy, hogy az összegük 201 lesz, és nekünk pont ez kell. A négy csoporthoz rendeljük hozzá az a,b,c,d módszereket, hogy azokat milyen bankjegyekkel fizetjük ki.

Vagyis a sok beszéd után a megoldás egyszerű: (204 alatt 3) féle módon lehet kifizetni.

-----------

Megjegyzés, de csak ha azt akarod, hogy belezavarodj:

N(=4) elem K-ad(=201-ed) osztályú ismétléses kombinációját valószínű ezzel a képlettel tanultátok:

(N+K-1 alatt N)

Én meg most azt vezettem le, hogy N(=201) elemet ennyiféleképpen tudunk K(=4) csoportba osztani:

(N+K-1 alatt K-1)

Ez a kettő pont ugyanaz. Biztos tanultátok az ezt bizonyító összefüggést a binomiális együtthatók között:

(a alatt b) = (a alatt a-b)