Adjunk NRA-becslést a polinomra! Mi a megoldás? (Az x-ek után felső indexek vannak. ) P (x) =0,5x4-8x3+3x2-6x-20

P(x) = 0,5·x⁴ − 8·x³ + 3·x² − 6x − 20

Nagyságrend-őrző alsó becslés: olyan egytagú (most negyedfokú) polinomot keresünk, ami elég nagy x-ekre, vagyis egy általunk megadott R-nél nem kisebb x-ek esetén biztos, hogy kisebb P(x)-nél.

P(x) ≥ m·x⁴

Kezdetben próbáljuk az R=1 értékhez megadni az RNA-t, vagyis x≥1.

Csináljunk P(x)-ből kisebbeket:

P(x) = 0,5·x⁴ − 8·x³ + 3·x² − 6x − 20 ≥ 0,5·x⁴ − 8·x³ − 6x − 20

(kihagytam a +3·x²-t, ez volt az egyetlen pozitív)

= 0,5·x⁴ − (8·x³ + 6x + 20)

Mos a zárójeles polinomhoz csináljunk NRF becslést (nagyságrend-őrző felső becslés). Megint kihasználjuk, hogy x ≥ 1.

Q(x) = 8·x³ + 6x + 20 ≤ 8·x³ + 6x³ + 20·x³ = 34·x³

Ezt visszahelyettesítve P(x) becslésébe:

P(x) ≥ 0,5·x⁴ − (8·x³ + 6x + 20) ≥ 0,5·x⁴ − 34·x³

Amit kivonunk, azt valahogy el kellene tüntetni. Persze csak úgy tudjuk, hogy a negyedfokú tagból valamit feláldozunk:

A 0,5·x⁴-t bontsuk két részre akárhogy. A felbontástól fog függni az, hogy mi lesz a végső R érték, valamint persze az is, hogy mi lesz a végső m érték, de ezeket mi magunk adjuk meg. Nem a legpontosabb becslést kell adni, csak egy biztos becslést.

Mondjuk bontsuk fel így: 0,3·x⁴ + 0,2·x⁴:

P(x) ≥ 0,3·x⁴ + (0,2·x⁴ − 34·x³) = 0,3·x⁴ + x³(0,2·x − 34)

Ha a zárójeles tag pozitív, akkor azt is elhagyhatjuk:

0,2·x − 34 ≥ 0

x ≥ 34/0,2 = 170

Vagyis R=170 választásnál a zárójeles rész pozitív. Azokra az x-ekre:

P(x) ≥ 0,3·x⁴ + x³(0,2·x − 34) ≥ 0,3·x⁴

A megoldás:

x ≥ 170 esetén P(x) ≥ 0,3·x⁴

(Persze sok más megoldás is jó...)