Hogyan tudom bizonyítani, hogy ugyanannyi páros szám van, mint páratlan?

Mivel a számok végtelenek és az első páros illetve, páratlan számhoz képest minden 2.ik páros illetve páratlan, így mind a páros, illetve páratlan számokból végtelen sok van.

Lehet nem ez a legjobb levezetés, de hirtelen ezt tudtam.

Minden páros számhoz kapcsolsz egy páratlant.

Pl minden páratlan szám mellé leteszem a nála eggyel nagyobb páros számot.

2k, 2k+1

1-2

3-4

5-6

stb.

Ha k végigfut a 0-végtelen számokon, akkor megkapjuk az összes számot.

Az első oszlopba mennek a páratlanok, a másodikba a párosak.

Páros és páratlan számból is MEGSZÁMLÁLHATÓAN végtelen sok van, vagyis megegyezik a számosságuk.

Ezt akkor olvasd el, ha mélyebben érdekel a dolog.

Ha pontosan, szóról szóra ez volt a kérdés, akkor a tanár valószínű azt a választ várja, mint amit Ifjutitan írt. Viszont azzal a levezetéssel van valami gond. Ifjutitan jól mondja, hogy a SZÁMOSSÁGUK ugyanaz. Szóval azt nem lehet bizonyítani, hogy ugyanannyi van belőlük, csak azt, hogy a számossága mindkettőnek megszámlálhatóan végtelen.

Mutatok ugyanis egy másik hozzárendelést:

Vegyük a páros számokat (n=2k), és mindegyikhez rendeljünk hozzá két számot is:

2n+1 (=4k+1)

2n+3 (=4k+3)

Ez mindkettő páratlan. Azt is könnyen be lehet látni, hogy nem marad ki egyetlen páratlan szám sem.

Vagyis ez azt mutatná, hogy dupla annyi páratlan szám van, mint páros.

Hasonlóképpen be lehet azt is "látni" (ha ez a gondolatmenet igaz lenne), hogy mondjuk 10-szer annyi páros van, mint páratlan.

Szóval az, hogy "ugyanannyi", az a végtelen sok dolognál már nem értelmezhető dolog. Azt lehet csak vizsgálni, hogy a számosságuk ugyanaz-e.

A számosságok közül az egyik fontos a "megszámlálhatóan végtelen" számosság. Ez akkor áll fenn, ha a halmaz elemeihez egy az egyben hozzá lehet rendelni a természetes számokat 1-től végtelenig. Vagyis ha meg lehet őket számolni.

Tehát ha k ∈ ℕ, vegyük ezeket a hozzárendelési szabályokat:

a) k → 2k

b) k → 2k+1

Az a) hozzárendelés adja meg az összes páros számot, a b) pedig az összes páratlant. Mindkettőnek tehát megszámlálhatóan végtelen a számossága.