Hogyan kell megoldani az alábbi feladatokat a valós számok halmazán?

A gyökösöket (a, b) négyzetre emeléssel, majd a végén az összes megoldás behelyettesítésével, mert valószínű, hogy hamis gyökök is adódnak, ugyanis a négyzetre emelés nem ekvivalens átalakítás.

Tehát az első így fog kinézni: 3x+13=<x^2+2x+1

Ezt nullára redukálva kapsz egy pofás másodfokú egyenlőtlenséget, amelynek a megoldóképlettel ki lehet számolni a zérushelyeit, és a függvény alakjából eldönteni, hogy a két zérushely között van-e a megoldáshalmaz, vagy nem.

A logaritmikusakat (d, e) úgy, hogy a másik oldalt ugyanolyan alapú logaritmussá alakítod, majd a szigorú monotonitásra hivatkozva elhagyod a logaritmust. Egyenlőtlenségnél nem mindegy, hogy a függvény növekvő-e vagy csökkenő: ha a logaritmus alapja 1-nél kisebb, akkor a relációs jel a logaritmusok elhagyása után fordul, mert a függvény szigorúan monoton csökkenő. 1-nél nagyobb alapú logaritmus esetén a relációs jel nem fordul meg.

Ja, a c-t kihagytam. Az úgy kell átalakítani, hogy a 3 kitevője mindig csak x legyen. A hatványozás azonosságaiból tudjuk, hogy a^(n+m)=a^n*a^m, azaz pl. 3^(x+1)=3^x*3^1, tehát 3*3^x. Ahol x-2 a kitevő, ott (3^x)/9 lesz.

Ekkor a kényelem kedvéért be lehet szorozni 9-cel, hogy ne legyenek törtvonalak, majd az átláthatóság kedvéért esetleg új ismeretlent bevezetni 3^x-re (én nem szoktam, de neked mint zöldfülűnek erősen ajánlom). Ekkor már sima elsőfokú egyenletként megoldható, és amit az új ismeretlenre kapsz, az még nem az egyenlet megoldása, azokat még vissza kell helyettesíteni 3^x-re. Tehát, ha 3^x-t a-val jelölöd, és kijön mondjuk, hogy a=1, akkor a helyére visszaírod 3^x-t (3^x=1), és ebből kapod azt, hogy x=0 (nem oldottam meg az egyenletet, hasamra csaptam az illusztráció kedvéért, úgyhogy nem biztos, hogy ez lesz a végeredmény).

Jókat írt az első válaszoló, de egy nagyon fontos dolgot kihagyott, az pedig a kikötés megírása. Kikötést mindig fontos írni pláne, ha egyenlőtlenség van, mert azokkal kell összevetni a megoldásokat.

Elsőnél: gyök alatt nemnegatív szám áll, ezért 3x+13>=0, amiből x>=-13/3. Mivel a bal oldalon biztosan nemnegatív szám áll, ezért a jobb oldalra is kikötést kell írni: x+1>=0, amiből x>=-1. Ha ezt a két kikötést összevetjük, máris látjuk, hogy a [-1;+végtelen) intervallumon lesz ennek megoldása (már ha lesz).

Logaritmusnál úgy írunk kikötést, hogy a logaritmuson belüli szám nagyobb, mint 0. A d-nél és az e-nél most mindenhol az lesz a kikötés, hogy x>0.