Lineáris algebra. Egy sajátvektoros és egy kar. Polinomos feladat. Hogyan kéne megoldani őket?

1.

Az, hogy az A mátrixnak λ a sajátértéke és v a hozzá tartozó sajátvektora, az azt jelenti, hogy:

A·v = λ·v

Ezt átrendezve:

(A−λ·I)·v = 0

ahol I az egységmátrix (a főátlóban 1-esek vannak, minden más 0).

A-λ·I azt jelenti, hogy az A mátrix főátlójában mindenből ki van vonva λ. Tehát most ilyen:

(1-λ 5    4)

(a    b-λ c)

(3    d    1-λ)

Ha ezt megszorozzuk az [1 2 3] oszlopvektorral, a szorzat pedig a null-vektor, akkor ez az egyenletrendszer lesz:

(1-λ)·1 + 5·2 + 4·3 = 0

a·1 + (b-λ)·2 + c·3 = 0

3·1 + d·2 + (1-λ)·3 = 0

Az első egyenletből kijön, hogy λ=23

A harmadikból pedig az, hogy 3+2d-22·3=0

Ebből d már kijön.

Ugye érted, mi hogyan lett?

2.

A karakterisztikus polinom is a sajátértékekhez kapcsolódó dolog. Az előbb volt már az A-λ·I mátrix, ennek a determinánsa a karakterisztikus polinom. (Ennek a polinomnak a gyökei lesznek a mátrix sajátértékei, erre való a karakterisztikus polinom, de gyököket most nem kell keresni.)

A mátrix:

(1-λ 5 4)

(7 9-λ 2)

(6 8 3-λ)

Determinánst tudod, hogy kell számolni? Nézz utána. A lényeg, hogy ezeket a számokat kell összeszorozgatni és összeadni-kivonni adott sorrendben. 2×2-es mátrix determinánsa egyszerű, (főátló szorzatából ki kell vonni a mellékátló szorzatát), 3×3-asé már kicsit bonyolultabb, a nagyobbé meg sokkal bonyolultabb.

Szóval most nagyon kellene tudni, hogy hogyan jön ki a 3×3-as determinánsa. A lényeg, hogy veszed a felső sor számait sorban.

- Bal felső: Gondolatban elhagyod a felső sort meg a bal oszlopot, ami maradt 2×2-es mátrix, annak kiszámolod a determinánsát, azt beszorzod a bal felső számmal. Aztán

- Középső felső: Gondolatban elhagyod a felső sort meg a középső oszlopot, ami marad, aból determinán, és beszorzod a számmal. Mindezt ki kell VONNI az előzőből. Aztán

- Jobb felső: Gondolatban elhagyod a felső sort meg a jobb oszlopot, ami marad, aból determinán, és beszorzod a számmal. Mindezt hozzá kell ADNI az előzőekhez. Kész.

Most ezt jól kell érteni, hogy rájöjj, hogy melyik tagoknál lesz a λ-nak második hatványa, hisz abból jön ki, hogy mennyi lesz a c₂ együttható értéke.

Ha belegondolsz, rájössz, hogy a bal felső számolásból jöhet csak ki az, hogy pont kétszer szorzunk λ-val. A 3. hatvány is ebből jön ki, de az most nem számít):

(1-λ)·[(9-λ)·(3-λ) - 2·8] = (1-λ)(27 - 3λ - 9λ + λ² - 16)

= (1-λ)(λ² - 12λ + 11)

Ezt beszorozva a másodfokúak: λ² + 12·λ²

Vagyis c₂ = 13

Itt én sok mindent fejben számoltam ki, számolj utána pontosan.