Az 1m2 területű téglalapok közül melyiknek legkisebb a kerülete, és mekkora ez a kerület?

A megoldást részletesen megtalálod itt:

[link]

a szélsőérték feladatok között.

Ha nem tanultatok még deriválni, akkor meg lehet oldani a számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenséggel is.

A két szám: a, 1/a (ezek szorzata a terület, ami 1 m²)

Számtani közepük: (a + 1/a)/2

Ez a kerület negyedrésze. A kerület is akkor a legkisebb, ammikor a negyedrésze a legkisebb.

Mértani közepük: √(a·1/a) = 1

Mivel a számtani közép nagyobb vagy egyenlő, mint a mértani, és a mértani állandó érték, ezért a számtani akkor a legkisebb, amikor egyenlőség áll fenn. Minden más esetben ennél nagyobb lesz.

Egyenlőség pedig akkor áll fenn, ha a két szám egyforma:

a = 1/a

a² = 1

aminek a=1 az egyetlen pozitív megoldása.

Vagyis akkor a legkisebb, ha 1m oldalhosszúságú négyzetről van szó. Annak a kerülete 4m.