Légyszi segítsen valaki! Matek. Egy derékszögű háromszög területe 54 cm2, kerülete 36 cm. Mekkorák a befogók?

Igen, jól írta 2xSü.

Jelöljük a két befogót a-val és b-vel, az átfogót c-vel. A derékszögű háromszögben a terület egyenlő a két befogó szorzata/2. Akkor felírhatjuk, hogy (a*b)/2=54, vagyis a*b=108, a+b+c=36 és c^2=a^2+b^2

innen c= gyök alatt(a^2+b^2)

Behelyettesítjük az a+b+c=36 -ba, megkapjuk:

a+b+gyök alatt(a^2+b^2)=36

Vagyis, a+b-36= -gyök alatt(a^2+b^2)

Ezután mindkét oldalt négyzetre emeljük:

a^2+a*b-36*a+a*b+b^2-36*b-36*a-36*b+1296=a^2+b^2

Az a^2 és b^2 mindkét oldalon szerepel, kiesik. Marad: 2*a*b-72*a-72*b+1296=0

Ha a*b=108, akkor 2*a*b=216

216-72*(a+b)+1296=0

72*(a+b)=1512, osztunk 72-vel, lesz:

a+b=21

a=21-b és ezt behelyettesítjük az a*b=108 egyenletbe

(21-b)*b=108

-b^2+21b-108=0

innen b1,2= ((-21+-gyök alatt(441-432))/2=-24/-2=12

vagy -18/-2=9

Tehát az egyik befogó 12 cm, a másik 9 cm.

Köszönöm szépen, nagyon kedves vagy! Még ki kell silabizálnom a csiga lassú agyammal, de nagyon sokat segítettél!

Azok a kis ^ jelek ugye négyzetre emelést jeleznek?

Még egyszer köszi!

Igen, az a négyzet.

Szívesen.

"Azok a kis ^ jelek ugye négyzetre emelést jeleznek? "

Pontosabban hatványozást. A kis ^ jelek és az utánuk jövő 2-es jelzi a négyzetreemelést. :)

A feladat: egy derékszögű háromszög

területe

T = 54 cm²

kerülete

K = 36 cm

a, b, c = ? - az oldalak

Bár a megoldás már megvan, mutatok egy kicsit másféle módszert.

Először egy kis algebra. :-)

A három használható összefüggés

(A) T = a*b/2

(B) K = a + b + c

(C) a² + b² = c²

A (B) egyenletet átrendezve

(B1) a + b = K - c

Mindkét oldalt négyzetre emelve

a² + 2ab + b² = K² - 2Kc + c²

Ebből kivonva a (C) egyenletet marad

2ab = K² - 2Kc

Mivel az (A) egyenletből

(A1) ab = 2T

ezért

2ab = 4T

így

4T = K² - 2Kc

amiből

c = (K² - 4T)/2K

Ezt a (B1) egyenletbe helyettesítve adódik

a + b = (K² + 4T)/2K

amihez hozzávéve az (A1) egyenletet

ab = 2T

van két egyenlet két ismeretlennel a befogók számításához

Behelyettesítve az ismert értékeket a

a + b = 21

ab = 108

egyenletrendszert kell megoldani

Az elsőből

b = 21 - a

Ezt a másodikba helyettesítve

a(21 - a) = 108

Műveletvégzés és rendezés után a

0 = a² - 21a + 108

másodfokú egyenlet adódik, melynek gyökei

a1,2 = (21±3)/2

a két befogót adják, vagyis

a1 = a = 12

és

a2 = b = 9

Tehát a feladat megoldása:

az adott területű és kerületű derékszögű háromszög befogói

a = 12 cm

b = 9 cm

=======

DeeDee

***********