∫ sinx*cosx dx =? A megoldást tudom, csak a levezetést valaki el tudná magyarázni? :D

Integráljuk parciálisan.

∫ sinx*cosx dx = sinx*sinx - ∫sinx*sinx

Innen: ∫sinx*sinx = 1/2 sin^2(x)

Ismert, hogy ha egy függvény integráltja F, akkor F + c is integráltja.

sin^2(x) + cos^2(x) = 1 (ez ismert)

Ebből:

sin^2(x)/2 - 1/2 = -cos^2(x)

Tehát mindkettő függvény valóban integráltja az eredetinek. Nyilván, ha fordítva végezzük el a parciális integrálást, akkor pedig -cos^2(x)/2-t kapunk.

Nem akarom elhinni, hogy senki nem írja meg a pofonegyszerű megoldást.

Mivel 2*sinx*cosx=sin2x (középisk. azonosság!), emiatt

∫ sinx*cosx dx = 0,5* ∫ 2*sinx*cosx dx =0,5*∫ sin2x dx =

= 0,5* (-cos 2x) *0,5 +c = 0,25* (-cos 2x) +c