√3 * tgx = 2*sinx ezt hogy kell megoldani?

Először is a tgx miatt kikötés: x≠π/2 + kπ (ahol k∈ℤ)

√3·tgx = 2·sinx

√3·sinx/cosx = 2·sinx

Ennek egyrészt megoldása az, hogy sinx=0, vagyis x₁=kπ

Ha x nem olyan, akkor lehet osztani six-szel. Átszorzás után ez lett:

√3/2 = cos x

Ennek két irányban is van megoldása:

x₂ = π/3 + 2kπ

másik:

x₃ = −π/3 + 2kπ

A fenti 3 megoldás egyike sem ütközik a kikötéssel, vagyis mindegyik megoldása az eredeti egyenletnek is. (Megjegyzés: a három k nem feltétlenül ugyanaz persze!)

tg(x)=sin(x)/cos(x)

Ebből jön, hogy gyök(3)*sin(x)/cos(x) = 2*sin(x) a megoldandó.

Átrendezések:

gyök(3)/2 * sin(x)/cos(x) = sin(x)

gyök(3)/2 * sin(x)/cos(x) - sin(x) = 0 (sin(x) kivonása)

sin(x)* (gyök(3)/2 * 1/cos(x) - 1) = 0 (sin(x) kiemelése)

Tehát megoldandó: sin(x)=0 vagy gyök(3)/2 * 1/cos(x) - 1=0, azaz átrendezve az utóbbit: gyök(3)/2=cos(x).

sin(x)=0: x=0 +k*Pi, ahol k tetszőleges egész.

cos(x)=gyök(3)/2: x=Pi/6 + 2*k*Pi, illetve x=11Pi/6 + 2*m*Pi, ahol k és m tetszőleges egész számok.

Igaza van #2-nek, π/3 helyett π/6 koszinusza a √3/2. Bocs, ezt elrontottam. Szóval:

x₂ = π/6 + 2kπ

x₃ = −π/6 + 2kπ

de persze a 11π/6 szintén jó −π/6 helyett.