MEGOLDHATATLAN matek feladat? Mi a megoldása?

Az egyik háromszög belső szögei: 45,c,a

A másik háromszög belső szögei: 45,b,d

Felírsz 4 egyenletet 4 ismeretlenre:

b+d=135

a+c=135

a+b=90

c+d=180

Megoldod az egyenletrendszert, megvannak a szögek.

Sinusz tételének segítségével pedig az oldalakat ki tudod számolni.

Itt találod a megoldást:

[link]

"Derékszögű háromszög - c és szögfelező" néven van a táblázatban.

Érdekes feladat!

Az értelmezéshez az ábra, ami egy hasonló, de adatok nélküli feladat megoldásához készült.

[link]

A kiinduló egyenletek

1. A szögfelező hosszának számítási képlete

2. A Pithagorasz tétel

vagyis

f = [2ab/(a + b)]*cosγ

a² + b² = c²

Két ismeretlen, két egyenlet, egy kis trükkel megoldható a feladat. :-)

Mivel

γ = 45°

cosγ = 1/√2

ezért az első egyenlet

f = [2ab/(a + b)]*(1/√2)

kicsit átrendezve

f*√2 = 2ab/(a + b)

A törtet eltüntetve /mindkét oldalt (a + b)-vel szorozva/

(f√2)(a + b) =2ab

Az

f√2 = k

helyettesítéssel

k(a + b) = 2ab

A két egyenletünk ezek után

(A) k(a + b) = 2ab

(B) c² = a² + b²

A két egyenletet összeadva a jobb oldalon teljes négyzet lesz

k(a + b) + c² = (a + b)²

Átrendezve

(a + b)² - k(a + b) - c² = 0

Ez egy (a + b)-re nézve másodfokú egyenlet és

a + b = s

helyettesítéssel

s² - k*s - c² = 0

alakú lesz.

Ennek megoldása

s = k + √(k² + 4c²)

Az

a + b = s

mennyiséget az (A) egyenletbe behelyettesítve lesz

k*s = 2ab

ezzel a befogók meghatározásához rendelkezésre álló két egyenlet

a + b = s

2ab = k*s

Az ezekből adódó másodfokú egyenlet két megoldása a befogókat adja, amelyek ismeretében minden szög számítható.

***************

Hiányzik még az átfogó két szeletének a hossza.

Feltételezem, hogy a kérdező ismeri a szögfelező-tételt - ha nem, majd szól - ezért részletezés nélkül

c(a) = a*[c/(a + b)]

és

c(b) = b*[c/(a + b)]

Mivel

a + b = s

c(a) = a*c/s

=========

c(b) = b*c/s

=========

Ezzel a feladat megoldottnak tekinthető.

************************************************

Még egy apróság, úgy is mondhatnám, szorgalmi feladat a végére.

A rajzon bejelöltem a δ szöget. Ezen feladat megoldáshoz nem feltétlen szükséges, de egy, a derékszögű háromszögre jellemző értéket jelent, ami a feladat adataiból könnyen meghatározható.

DeeDee

*************