Az ax+by=c egyenletű egyenes a, b, c együtthatói ebben a sorrendben egy nem állandó számtani sorozat egymást követő tagjai. Határozza meg az együtthatókat, ha a háromszög és a koordinátatengelyek alkotta háromszög területe 4/3!?

A sorozat kicsit más, b van a helyett: b-d, b, b+d

Az egyenlet:

8/3 = (b+d)² / (b(b-d))

Ez az egyenlet viszont csak azoknál a háromszögeknél adja a területet, ahol c/b valamint c/a ugyanolyan előjelű. Ha az egyik pozitív, a másik meg negatív, akkor T = -x·y/2:

-8/3 = (b+d)² / (b(b-d))

Ezt is meg kell majd oldani másodjára.

1)

8/3 = (b+d)² / (b(b-d))

8b² - 8bd = 3b² + 6bd + 3d²

3d² + 14b·d - 5b² = 0

Ez mondjuk d-ben másodfokú, a megoldóképlettel ez jön ki:

d₁₂ = (-14b ±√(196b² + 60b²))/6 = (-7b ± 8b)/3

d₁ = b/3

d₂ = -5b

a)

a = 2b/3

c = 4b/3

Az egyenes egyenlete:

2b/3·x + b·y = 4b/3

Ez persze sok egyenlet lehet. Bármilyen b esetén ugyanarról az egyenesről van szó, hisz b-vel akár egyszerűsíthetünk is:

2/3·x + y = 4/3

Vagy beszorozva 3-mal:

2x + 3y = 4

Nekem ez tetszik a legjobban.

b)

a = 6b

c = -4b

6bx + by = -4b

Most is ugyanaz a helyzet. A legegyszerűbb forma:

6x + y = -4

2)

-8/3 = (b+d)² / (b(b-d))

-8b² + 8bd = 3b² + 6bd + 3d²

3d² - 2b·d + 11b² = 0

d₁₂ = (2b ± √(4b² - 132b²))/6

A diszkrimináns negatív, szóval nincs több megoldás.

Közben Bongoló szebben befejezte, de azért belinkelem, hogy hol tartok:

[link]