Hogy kell ki integrálni az alábbi kifejezést?

Egyébként mondjuk b szerint kell integrálni?

∫ 1/√(a²+b²)³ db

Ez az 1/√négyzetösszeg a köb nélkül nagyon emlékeztet ennek az összefüggésnek a bal oldalára:

1/√(1 + tg²x) = cos x

ugyanis a²+b²-ből tudunk 1+(b/a)²-et csinálni. Ha b/a = tg x behelyettesítést csinálunk, akkor

1/√(a²+b²) = 1/a·1/√(1+tg²x) = (cos x)/a

Még db-ből kellene dx-et csinálni:

b/a = tg x

b = a·tg x

db/dx = a/cos²x

db = a/cos²x·dx

∫ 1/√(a²+b²)³ db = ∫ cos³x / a³ db = ∫ cos³x/a³ · a/cos²x dx = 1/a² ∫ cos x dx = sin x / a² + C

Már csak a sin x-et kellene kifejezni úgy, hogy tg x-et tudjuk. Erre ez az összefüggés van:

sin x = tg x/√(1 + tg²x)

Vagyis

sin x = (b/a)/√(1 + b²/a²) = b/√(a²+b²)

Vagyis az integrál ez lett:

b/(a²√(a²+b²)) + C