Valószínűségszámításban tudnátok segíteni?

Az A esemény legyen az, hogy Anna 1-2-3 valamelyikét dobja. P(A)= 1/2

B esemény: Bella 4-5 valamelyikét dobja. P(B) = 1/3

C esemény: Csilla 6-ost dob. P(C) = 1/6

Anna akkor nyer, ha az A esemény bekövetkezik.

Bella akkor nyer, ha az A nem következik be, de utána a B bekövetkezik. Ezt a dobás-sorozatot jelöljük úgy, hogy /A-B

Csilla akkor nyer, ha se A, se B nem nyer, de utána a C esemény bekövetkezik. Vagyis /A-/B-C

Annak a valószínűsége, hogy rögtön 3 dobás után nyer Csilla, az 1/2·2/3·1/6 = 1/18. Ezt tehát a /A-/B-C dobássorozat.

De tud pl. 6 dobás után is nyerni: /A-/B-/C---/A-/B-C. Ennek valószínűsége 1/2·2/3·5/6 · 1/2·2/3·1/6 = 5/18·1/18

Aztán lehet 9 dobás után is, csak az a lényeg, hogy mindig !A és !B legyen a másik két lány dobása:

/A-/B-/C---/A-/B-/C---/A-/B-C = (5/18)²·1/18

Tetszőleges 3n darab dobás után lehet, hogy Csilla nyer, (5/18)^(n-1)·(1/18) valószínűséggel. Ez mehet n=1-től a végtelenségig. A nyerés összes valószínűsége ezeknek a valószínűségeknek az összege:

  ∞

  Σ (5/18)ⁿ·(1/18)

n=0

(n-1-edik hatványról átváltottam n-edikre, ezért n=0-tól indul a szumma, nem 1-től.)

Ez egy mértani sor, q=5/18 és a₁=1/18 adatokkal. Összege az ismert összefüggés szerint a₁/(1-q)

(1/18)/(1 - 5/18) = 1/13