A tanár felírja 1-30ig a számokat a táblára, majd a tanulók egyesével kimennek a táblához és két tetszőlegesen választott számot letörölnek, visszaírva a különbségüket. Aki után az egyetlen 0 marad a táblán, annak beír egy ötöst. Jószívű-e a tanár?

Hát az a kérdés hogy összejátszanak a tanulók: ha például 1-3 lenne a feladata, akkor ha az első letörli a 2,3-t és 1-t ír helyébe, akkor kész, a második nyer. Dettó az 1,3-mal. Viszont ha az 1-2-t töri le akkor vége a dalnak, hiszen egy 2-es marad a táblán...

Ötre nagyjából csak az összes lehetőség végigpörgetésével látom hogy nem megy. Érdekel hogy jön ki -- páros-páratlannak nem tűnik úgy hogy menne...

Segítség:

Próbált ki először úgy, mintha a feladat úgy szólna, hogy 1-től 4-ig írja fel a tanár a számokat! Mi marad a táblán a legvégén? Játssz el minél többféle lehetőséget! Milyen lehetőségek vannak, mileyen értékek maradhatnak a táblán? Lehetséges-e, hogy 0 maradjon? Lehetsége-e, hogy a kettes szám maradjon? lehetséges-e, hogy a 4-es szám maradjon? lehetséges-e, hogy valamilyen páratlan szám maradjon? Próbálj meg olyan forgatókönyvet lejátszani, hogy páratlan szám amradjon (mondjuk 1-es, vagy 3-as)! Sikerült-e? Ha nagyon nem sikerül, akkor lehet-e ennek valami oka?

Ha ezt játékot meguntad, nézd meg még arra az esetre, ha a tanár az 1, 2, 3, 4, 5 számot írta volna fel? (Ha ez túl hosszadalmas lenne mind végigjátszani, akkor legyen rövidebb, vegyük akkor úgy, hogy mi lett volna, ha a tanár csak az 1, 2, 3 számot írta volna fel).

Itt most mi lett más? Itt is vannak olyan számok, amiket meg lehet kapni végeredménynek, és itt is vannak olyan számok megint, amik semmiképp sem jöhetnek ki végeredménynek? Mi lehet a szabály?

Most játssz végig úgy egy menetet, hogy minden egyes lépésenként (gyerekenként) figyeld, hogy lépésenként igaz-e az a szabály, amire gondolsz! Ha a párossággal, páratlansággal kapcsolatban van valami sejtésed, akkor nézd meg, hogy mindig amikor a tanár kihív egy-egy gyereket, akkor van-e változás ennek kapcsán!

S P O I L E R

S P O I L E R

S P O I L E R

. _ : . _ : . _ : . _ :

A táblán levő számok összegének paritása nem változik meg az egyes gyerekek kihívása során. Mivel

1 + .. + 30 =

(1 + 3 + 5 + 7 + ... + 27 + 29) + (2 + 4 + 6 + ... + 26 + 28) =

tizenöt darab páratlan szám összege + szintén épp tizenöt db páros szám összege =

páratlan szám + páros szám =

páratlan szám

Tehát 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + 28 + 29 + 30 = valamilyen páratlan szám. (Ez a Gauss-féle összegzési képlettel is kijön).

Amikor a tanár kihív egy-egy gyereket, minden egyes gyerek ugye azt csinálja hogy letöröl két számot, és visszaírja a különbségüket.

Ha mondjuk két páros számot töröl le, akkor azoknak a különbsége is páros. Tehát: letörölt két páros számot, és visszaírt egy párosat. Így a táblán lévő számok összegének paritása nem változhatott meg (hiszen páros számok hozzáadása, levonása nem változtatja meg a paritást).

Ha a tanuló meg mondjuk két páratlan számot törölt le, akkor azoknak a különbsége viszont megintcsak páros. Tehát: letörölt két páratlan számot, és visszaírt egy párosat. Így a táblán lévő számok összegének paritása nem változott meg (hiszen a két páratlan szám letörlésével együtt lényegében a két letörölt páratlan szám összegét vette el, ez pedig páros. Aztán a különbség visszaírásával páros számot adott hozzá. Tehát lényegében elvett egy páros számot, és hozzáadott egy másik páros számot. Így viszont a paritás nem változott, hiszen páros számok hozzáadása, levonása nem változtatja meg a paritást).

Ha meg a tanuló egy páros és egy páratlan számot törölt le, akkor lényegében ezek összegét veszi el a ,,készletből'' (ez páratlan). Aztán meg ugye visszaírja a letörölt számok különbségét (ez is páratlan). Tehát a változás lényege: elvett a ,,készletből'' páratlant, és visszaírt valamilyen szintén páratlant.

Amikor páratlan számot adok hozzá vagy vonok le egy számból, akkor megváltozik a paritás (páratlanból párosra, vagy ha páros volt, akkor meg páratlanra). Tehát ha kétszer teszem azt egymás után, hogy páratlan számmal változtatok meg valamit, akkor a paritás ugyanaz marad (hiszen kétszer fordul a paritás, tehát ugyanaz marad).

Az esetekből látszik, hogy akárhogy is választanak a gyerekek, a táblára eredetileg felírt számok összegének a paritását nem tudják megváltoztatni.

A tanár ravaszsága ott van, hogy az 1, 2, 3, ... 30 szám összege páratlan, ezért akármit is tesznek a gyerekek, a táblán maradó számok összege is páratlan kell hogy maradjon (hiszen a paritás minden egyes lépésben megmarad). Tehát amikor a legvégén a táblán már csak egyetlen szám marad, az csakis páratlan szám lehet. Ez pedig természetesen nem lehet nulla, hiszen a nulla páros szám.