Két konvex sokszögnek együtt 20 oldala és 74 átlója van. Hány oldalúak a sokszögek?

A sokszög átlóinak száma n*(n-3)/2, ahol n az oldalak száma.

Az oldalak száma tehát 3-nál nagyobb, és 18-nál kisebb (20 oldal van összesen, és kettő darab sokszög kell).

OLdal Átló szám a fenti képlet alapján:

4 2

5 5

6 9

7 14

8 20

9 27

10 35

11 44

12 54

13 65

14 77

15 90

16 104

17 119,

látszik, hogy a 74 átló egy 6 oldalú és egy 13 oldalú sokszög átlóiból jön össze.

Van találgatásnál egzaktabb módszer is. :-)

Legyen

m, n - az oldalak száma

M, N - az átlók száma

Az átlók száma

n(n - 3) = 2N

m(m - 3) = 2M

Feltételek

n + m = 20

N + M = 74

Az elsőből

m = 20 - n

Behelyettesítve a másodikba

n(n - 3) = 2N

(20 - n)(20 - n - 3) = 2M

Összevonva a második zárójelben

n(n - 3) = 2N

(20 - n)(17 - n) = 2M

Összeadva a két egyenletet

n(n - 3) + (20 - n)(17 - n) = 2(N + M) = 148

A zárójelek felbontása, összevonás, egyszerűsítés után marad

n² - 20n + 96 = 0

Ennek gyökei a sokszögek oldalait adják

n1 = 12

n2 = 8

ill

n = 12

=====

m = 8

=====

DeeDee

***********