Igazoljuk, hogy a 12,1122,111222, . Számok mindegyike felírható egy azonos sorszámú négyzetszám és háromszögszám összegként!?

Jelöljük az n-edik háromszögszámot így: n*

n² = n·n

n* = n·(n+1)/2

1²+1* = 1+1 = 2

2²+2* = 4+3 = 7

3²+3* = 9+6 = 15

Nem írtál el valamit? Nem is igaz az állítás, a 12 nem írható fel.

Próbáljuk felírni ezt a számot általánosan.

A 2n számjegyű ilyen szám áll tehát n darab 1-esből és n darab 2-esből.

Abból tudunk kiindulni, hogy 10ⁿ-1 éppen olyan szám, ami n darab 9-esből áll.

n darab 1-es: (10ⁿ-1)/9

n darab 2-es: 2·(10ⁿ-1)/9

Ezért a keresett számunk:

X = 10ⁿ·(10ⁿ-1)/9 + 2·(10ⁿ-1)/9

9X = (10ⁿ-1)(10ⁿ+2) = (10ⁿ-1)(10ⁿ-1 + 3)

Könnyű belátni, hogy 10ⁿ-1 osztható 3-mal (mellesleg 9-cel is), hisz n darab 9-esből áll.

X = [(10ⁿ-1)/3]·[(10ⁿ-1 + 3)/3]

X = [(10ⁿ-1)/3]·[(10ⁿ-1)/3 + 1]

Ezek pedig egymást követő természetes számok.