Adjunk meg olyan polinomot amelynek a gyökei az x^3 + x^2 -17x -65 polinom gyökeinek a p-szeresei. (? )

x³+x²-17x-85 = (x-a)(x-b)(x-c)

= x³ - (a+b+c)x² + (ab+ac+bc)x - abc

vagyis

a+b+c = -1

abc = 85

stb.

a keresett polinom:

(x-pa)(x-pb)(x-pc)

= x³ - (pa + pb + pc)x² + (pa·pb + pa·pc + pb·pc)x - pa·pb·pc

A másodfokú tag tényezője -p(a+b+c), vagyis -p kell legyen.

A nulladfokúé pedig p³·abc = p³·85

Az elsőfokúé: p²(ab+ac+bc) = p²·(-17)

Ebből már fel lehet írni a polinomot.

x^3 + x^2 -17x -65=(x-5)(x^2+6x+13)

=(x-5)(x+3+2i)(x+3-2i). Innen úgy, ahogy Bongoló úr leírta, már le tudod vezetni a polinomot. Konkrétan a keresett polinom x^3 + px^2 -17p^2x -65 p^3 alakú. Sz. Gy.