Határozd meg az ABC egyenlő oldalú háromszög C csúcsának koordinátáit, ha az A és csúcs koordinátái A (1, 0) illetve B (-1, 0). Hogy kell a csúcsoknak a koordinátáit kiszámolni?

Egyik megoldás:

Látszik, hogy A és B az x tengelyen vannak, az origó két oldalán. A C pont tehát az y tengelyen kell legyen. Mivel az egyenlő oldalú háromszög magassága √3/2-szöröse az oldalhossznak, és az oldalhossz láthatólag 2, ezért a C pont a (0; √3) helyen van.

Könnyű elfelejteni, hogy az is jó megoldás, ha a C pont alul van ugyanilyen távolságban, vagyis C(0;-√3) is lehet.

Másik megoldás: (ez jó akkor is, ha nem ilyen speciális a pontok elhelyezkedése)

Az AB pontok távolsága √((1-(-1))²+(0-0)²) ) = 2

Az AC valamint a BC pontok távolsága is 2 kell legyen. Ha a C pont koordinátái x és y:

Az A-tól való távolság egyenlő kettővel, a távolság négyzete 4-gyel:

(x-1)²+(y-0)² = 2²

A B-től való távolság is ugyanannyi:

(x-(-1))²+(y-0)² = 2²

Meg kell oldani ezt az egyenletrendszert:

(x-1)² + y² = 4

(x+1)² + y² = 4

A két egyenlet különbsége:

(x-1)² - (x+1)² = 0

(x²-2x+1)-(x²+2x+1) = 0

-4x = 0

x = 0

Ezt az első egyenletbe helyettesítve:

(0-1)² + y² = 4

y² = 3

|y| = √3

aminek y₁ = √3, y₂ = -√3 a megoldásai.