Egyenletrendszerek megoldása szorzattá alakítás segítségével. Hogyan lehet ezt megoldani?

Az első egyenlet így alakítható:

(x^2-y^2)^2+x^2y^2=13.

Itt a második egyenlet alapján

x^2-y^2 = 1-2xy,

ezt behelyettesítve

(1-2xy)^2+x^2y^2=13.

Ha itt az xy=t új ismeretlent bevezetjük, akkor ez t-re egy másodfokú egyenlet.

Ennek a megoldásai t=2 vagy t=-6/5.

Ha például t=2, azaz xy=2, akkor y=2/x, és ez behelyettesíthető a második egyenletbe:

x^2-(2/x)^2+4=1.

Ez x^2-tel átszorzás után x^2-ben egy másodfokú egyenlet, a megoldásai:

x^2=1 vagy x^2=-4.

Az utóbbi a valós számok halmazán nyilván lehetetlen, az első eset alapján x=1 vagy x=-1.

Tehát kaptunk két megoldást:

x=1 és y=2,

x=-1 és y=-2.

A t=xy=-6/5 eset hasonlóan kezelhető, ott azonban az x^2-re adódó másodfokú egyenletnek elég csúnya megoldásai lesznek, így azokat nem írom fel. Két további valós megoldás adódik egyébként.